در میان پنج اصل موضوع اقلیدس اصل پنجم، یا اصل توازی، موجب زحمت فکری بود: نه چندان ساده بود که بتوان اصل بودنش را بی نگرانی پذیرفت و نه هم قابل اثبات بود. از همان آغاز کسانی دچار دودلی شدند و چه بسیار وقت برای اثبات آن یا قرار دادن اصلی به جای آن صرف شد. این کوشش ها هر چند به نتیجه قطعی نرسیدند راه را برای رسیدن به نتیجه ی مهم تری گشودند. در قرن نوردهم سه دانشمند در سه کشور، گاوس در آلمان، بویئی در مجارستان و لباچفسکی در روسیه تقریبا همزمان به کشف، یا بهتر بگوییم به ابداع، هندسه هایی دست یافتند که گاوس بر آن ها نام هندسه ی نا اقلیدسی نهاد.
هدف این کتاب آشنا ساختن خواننده است با اصول هندسه ی نا اقلیدسی لباچفسکی.
لباچفسکی ریاضیدان نامی روس متفکری برجسته بود که جهان یکی از بزرگ ترین اکتشاف های ریاضی، یعنی ساختن یک دستگاه ابتکاری هندسه متمایز از هندسه اقلیدسی را به او مدیون است.
در بخش یک این کتاب ترجمه احوال کوتاهی از لباچفسکی آمده است، بخش دوم به این مسئله می پردازد که مفهموم های اساسی هندسه چگونه نشات کردند و گسترش یافتند، در بخش سوم با تبدیلی به نام انعکاس، که وقوف بر آن برای درک هندسه لباچفسکی لازم است آشنا می شویم، بخش های دیگر کتاب، پاره ای از ویژگی های هندسه لباچفسکی را مورد بررسی قرار می دهد.
سرفصل های کتاب به صورت زیر است:
- یادداست مترجم
- یادداشت مولف
- سخنی کوتاه درباره لباچفسکی
- در منشا اصل های موضوع
- انعکاس
- نقشه صفحه لباچفسکی
- دایره در صفحه لباچفسکی
- منحنی هم فاصله
- دایره ی زمانی
- قضیه هایی برگزیده از هندسه لباچفسکی
- چند تبصره دیگر
- لگاریتم طبیعی و تابع های هذلولوی
- اندازه گیری پاره خط های راست هذلولوی
- دستورات اصلی مثلثات هذلولوی
- طول بعضی قوس های مستوی درهندسه لباچفسکی
- نتیجه