سوالات تستی جبر

1. فرض کنید G گروهی از مرتبه 169 باشد در این صورت مرکز G چند عضو دارد؟
   • الف. 1
   • ب. 2
   • ج. 12
   • د. 169
2. کدام یک از گروه های زیر ساده نیست؟
   • الف. هر گروه از مرتبه 6
   • ب. \(\mathbb Z_5\)
   • ج. \(S_{11}\over A_{11}\)
   • د. \(\mathbb Z_3\)
3. کدام یک از گروه های زیر به ازای هر شمارنده مرتبه اش، زیرگروهی از آن مرتبه ندارد؟
   • الف. هر گروه دوری و متناهی
   • ب. هر گروه آبلی متناهی
   • ج. هر P- گروه
   • د. \(A_4\)
4. هر گروه از مرتبه 200 چند 5-زیر گروه سیلو دارد؟
   • الف. 5
   • ب. 1
   • ج. 25
   • د. 8
5. کدام گزاره نادرست است؟
   • الف. هیچ گروهی از مرتبه 24 ساده نیست
   • ب. هیچ گروهی از مرتبه 48 ساده نیست
   • ج. هیچ گروه ساده ای از مرتبه 56 وجود ندارد
   • د. گروهی ساده از مرتبه 30 وجود دارد.
6. کدام گزاره نادرست است؟
   • الف. اگر \(|G|=pq\) که p و q اعداد اول و \(q \not\equiv 1 \pmod p\)، آنگاه G آبلی است
   • ب. هر گروه از مرتبه \(p^2\) که p عدد اول باشد لزوماً آبلی است
   • ج. اگر \(|G|=p^m\) که p یک عدد اول و m یک عدد طبیعی است آنگاه \(|Z(G)|=1\)
   • د. اگر G گروهی غیربدیهی و \(a\in G\) آنگاه \(|C(a)|\ge2\)
7. کدام یک از حلقه های زیر نوتری نیست؟
   • الف. \(\mathbb Z\)
   • ب. \(\mathbb Z[x]\)
   • ج. \(\mathbb Z[\sqrt{-5}]\)
   • د. \(R[x]\) برای هر حلقه R
8. فرض کنید \(E(V)=\{x\in {\mathbb Q \over \mathbb Z}|x={r\over 5^n}+\mathbb Z, r\in \mathbb Z, n \in \mathbb N\}\) در این صورت کدام گزینه در مورد \(\mathbb Z\)-مدول درست است؟
   • الف. \(E(V)\) آرتینی و نوتری است
   • ب. \(E(V)\) آرتینی است ولی نوتری نیست
   • ج. \(E(V)\) آرتینی و نوتری نیست
   • د. \(E(V)\) آرتینی نیست ولی نوتری است
9. فرض کنید M یک R-مدول و G یک زیرمدول آن باشد در این صورت کدام گزینه صحیح است؟
   • الف. اگر G آرتینی باشد آنگاه \({M \over G}\) آرتینی است
   • ب. اگر \({M \over G}\) آرتینی باشد آنگاه M آرتینی است
   • ج. اگر M آرتینی باشد آنگاه \({M \over G}\) آرتینی است
   • د. اگر G آرتینی باشد آنگاه M آرتینی است
10. کدام یک از گزاره های زیر نادرست است؟ (فرض کنید M مدولی روی حلقه جابجایی R باشد.)
    • الف. اگر M نوتری باشد آنگاه هر زیر مدول آن نیز نوتری است
    • ب. اگر M آرتینی باشد آنگاه هر مدول خارج قسمتی آن نیز آرتینی است
    • ج. اگر M نوتری باشد آنگاه هر زیرمدول M متناهی مولد است
    • د. اگر هر زیر مدول M متناهی مولد باشد آنگاه M آرتینی است
11. قضیه کوهن بیان می‌کند:
    • الف. اگر R آرتینی باشد آنگاه \(R[x]\) آرتینی است
    • ب. اگر R حلقه‌ای تعویض‌پذیر با این ویژگی که هر ایده‌آل اولش متناهی مولد باشد آنگاه R نوتری است
    • ج. اگر R حلقه‌ای تعویض‌پذیر با این ویژگی که هر ایده‌آل اولش متناهی مولد باشد آنگاه R آرتینی است
    • د. هر حلقه تعویض‌پذیر R نوتری است اگر و فقط اگر R آرتینی باشد
12. فرض کنید R یک حلقه تعویض‌پذیر باشد. اگر R را به‌عنوان یک R-مدول در نظر بگیریم آنگاه کدام گزینه نادرست است؟
    • الف. هر ایده‌آل R یک R-زیرمدول R است
    • ب. R دارای زیرمدول غیربدیهی نیست
    • ج. هر زیرمدول R یک ایده‌آل R است
    • د. ایده‌آل‌های R دقیقاً همان R-مدول‌هایش هستند و برعکس
13. فرض کنیم M و N دو مدول روی حلقه تعویض‌پذیر R باشند در این صورت کدام گزاره نادرست است؟
    • الف. دنباله \(M\xrightarrow{h}N\to0\) کامل است در صورتی که h تکریختی باشد.
    • ب. اگر دنباله \(M\xrightarrow{h}N\to0\) کامل باشد آنگاه h بروریختی است
    • ج. اگر h بروریختی باشد آنگاه \(M\xrightarrow{h}N\to0\) کامل است
    • د. دنباله \(M\xrightarrow{h}N\to0\) کامل است اگر و تنها اگر h بروریختی باشد
14. کدامیک از دنباله های R-مدولی و R-همریختی زیر کامل است (H یک زیرمدول M، تابع i تابع شمول و \(\pi\) بروریختی طبیعی است)
    • الف. \(0\to H \xrightarrow {i} M\xrightarrow {i} {M\over H}\to 0\)
    • ب. \(0\to H \xrightarrow {\pi} M\xrightarrow {\pi} {M\over H}\to 0\)
    • ج. \(0\to H \xrightarrow {i} M\xrightarrow {\pi} {M\over H}\to 0\)
    • د. \(0\to H \xrightarrow {\pi} M\xrightarrow {i} {M\over H}\to 0\)
15. فرض کنید M مدولی روی حلقه تعویض پذیر R باشد و دارای یک سری ترکیبی به طول n باشد. در این صورت کدام گزینه نادرست است؟
    • الف. طول زنجیر اکید از زیرمدول های M بزرگ تر از n نیست
    • ب. طول هر سری ترکیبی M حداکثر برابر n است
    • ج. هر زنجیر اکید از زیرمدول های M به طول \(n^\prime< n\) را می‌توان با وارد کردن \(n-n^\prime\) جمله دیگر به یک سری ترکیبی M تبدیل کرد
    • د. هر زنجیر اکید از زیرمدول های M به طول n یک سری ترکیبی M است
16. کدام گزینه صحیح نیست؟
    • الف. هر گروه آبلی جمعی یک \(\mathbb Z\)-مدول یکانی است
    • ب. هرگاه S یک حلقه و R یک زیرحلقه آن باشد، آنگاه S یک R-مدول است
    • ج. هرگاه I یک ایده‌آل حلقه جابجایی R باشد، آنگاه \(R\over I\) یک R-مدول است
    • د. اگر M یک R-مدول روی حلقه تعویض پذیر R باشد آنگاه \(Ann_R (M)\) ایده‌آل R نیست
17. فرض کنید F یک میدان باشد در این صورت F به عنوان یک حلقه:
    • الف. نوتری و آرتینی است
    • ب. نوتری نیست ولی آرتینی است
    • ج. نوتری نیست، آرتینی هم نیست
    • د. نوتری است ولی آرتینی نیست
18. فرض کنید M یک مدول روی حلقه تعویض پذیر R و \(\{G_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}\) خانواده‌ای از R-زیرمدول‌های M باشد. در این صورت کدام گزینه نادرست است؟
    • الف. \(I_{\lambda\in \Lambda}G_\lambda\) زیرمدولی از M است
    • ب. \(\sum_{\lambda\in \Lambda}G_\lambda\) زیرمدولی از M است
    • ج. \(\langle Y_{ \lambda \in \Lambda}G_\lambda \rangle\) زیرمدولی از M است
    • د. اگر \(\Lambda = \varnothing\) آنگاه \(\sum_{\lambda\in \Lambda}G_\lambda\) زیرمدول M نیست
19. فرض کنید I ایده‌آل حلقه تعویض‌پذیر R باشد و \(I\subseteq \text{Jac}(R)\) در این صورت کدام گزاره درست است؟
    • الف. \(I_{n=1}^\infty I^n=0\)
    • ب. \(I_{n=1}^\infty I^n=R\)
    • ج. \(I_{n=1}^\infty I^n=\varnothing\)
    • د. \(I_{n=1}^\infty I^n=1\)

سوالات تشریحی

1. ثابت کنید هر گروه از مرتبه 1225 آبلی است
2. قضیه دوم سیلو را بیان و اثبات کنید
3. فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر و یکدار و I ایده‌آلی از R باشد. نشان دهید: \(I=\text{Ann}_R({R\over I})=(0:_R1+I)\)
4. لم ناکایاما را بیان و اثبات کنید
5. فرض کنید R حلقه‌ای تعویض‌پذیر و دنباله‌ی: \(0\to L \xrightarrow {f}M\xrightarrow {g}N\to0\) دنباله کامل کوتاهی از R-مدول‌ها باشد؛ نشان دهید: R-مدول M متناهی طول است اگر و فقط اگر L و N هر دو متناهی طول باشند.