عضویت و زیرمجموعه از بنیادی‌ترین مفاهیم نظریه مجموعه‌ها هستند و پایه بسیاری از مباحث بعدی ریاضیات، از جمله اجتماع، اشتراک، متمم، مجموعه توانی، روابط و توابع را تشکیل می‌دهند. در این مقاله تفاوت دقیق میان «عضو یک مجموعه بودن» و «زیرمجموعه یک مجموعه بودن» را بررسی می‌کنیم، نمادهای \( \in \)، \( \notin \)، \( \subseteq \) و \( \subsetneq \) را توضیح می‌دهیم و با استفاده از مثال‌های مرحله‌به‌مرحله، روش تشخیص زیرمجموعه، برابری دو مجموعه، زیرمجموعه‌های سره، مجموعه تهی و خواص مهم رابطه زیرمجموعه را آموزش می‌دهیم. همچنین به تفاوت مفاهیمی مانند \(a\in A\) و \(\{a\}\subseteq A\)، رابطه میان عضویت و زیرمجموعه و خطاهای رایج در استفاده از نمادها می‌پردازیم.

کارمندان ژاپنی ساعت های طولانی کار می کنند. با وجود قانون کار ژاپن، این که نیروی کار 60 ساعت در هفته کار کنند امر غیر معمولی نیست. این موضوع به پدیده ای به نام کارُشی ( karo-shi-مرگ ناشی از کار زیاد) منجر شده. معروف است که برخی از کارکنان شرکت های بزرگ خود به خود از خستگی می میرند.
خوشبختانه، موارد کارُشی بسیار نادر است. همچنین کارگران خارجی معمولاً تحت فشار قرار نمی گیرند تا به اندازه همتایان ژاپنی شان کار کنند.
یکی از دلایل ساعت های زیاد کار در ژاپن این است که مدت زمانی که کارمندان کار می کنند در فرصت های پیشرفت شغلی شان تعیین کننده است و کمیت کارشان گاهی اوقات مهم تر از کیفیت کارشان است.

تجزیه با اتحادها یکی از روش‌های مهم و سریع برای تجزیه عبارت‌های جبری است. در این روش، به جای انجام عامل‌گیری‌های طولانی، ساختار عبارت با یکی از اتحادهای شناخته‌شده مقایسه می‌شود و سپس اتحاد در جهت معکوس به کار می‌رود. به همین دلیل، شناخت دقیق الگوهای جبری و تشخیص درست آن‌ها بخش اصلی این روش است.

مهم‌ترین الگوهای مورد استفاده در تجزیه با اتحادها شامل اتحاد مربع مجموع و مربع تفاضل، اتحاد مزدوج یا تفاضل دو مربع، اتحاد مجموع و تفاضل مکعب‌ها و برخی حالت‌های حاصل‌ضرب دو عبارت با جمله مشترک است. در این مقاله هر الگو با شرایط استفاده، روش تشخیص، مثال‌های حل‌شده و خطاهای رایج بررسی می‌شود.

نقشه : در این شگرد فرض می شود که کار کردن با اعداد صحیح از کار کردن با اعداد نصفه راحت تر است. برای ضرب کردن سریع در 1/5 ، 2/5 و جز آن مضروبٌ فیه 1/5 ، 2/5 یا نظیر آن را دو برابر کنید و عدد دیگر را نصف کنید تا ( امیدواریم ) محاسبه به محاسبه ای صرفاً با اعداد صحیح تبدیل شود. در حقیقت این روش موقع ضرب کردن در هر عددی که به 5 ختم می شود به کار می آید. در پی چند مثال می آید که در آن ها این روش زیرکانه به کار گرفته شده است. 

اگر شما بتوانید در همان کلاس، تمامی مطالب را بگیرید، خود باعث می شود که حجم عمده ای از فعالیت مطالعه شما در منزل کاسته شود. شاید تا به حال با افرادی برخورد کرده باشید که فقط در کلاس حضور می یابند و بسیار کم در منزل مطالعه می کنند. معمولاً شما در این حالت به خود و اطرافیان خود می گویید: نمی دانم چرا با این که من ساعتها در منزل درس می خوانم یک دهم آن را هم نمی خواند، همیشه نمره های من از او کمتر است.