سوال:

\(\int_0^{2\pi} \frac{dx}{\sin^{4}x + \cos^{4}x}\)

من سعی کردم این انتگرال را در حالتی که نامعین است با جاگذاری \(\sin^{4}x + \cos^{4}x\) بصورت:

\(\sin^{4}x + \cos^{4}x = (\sin^{2}x + \cos^{2}x)^{2} - 2\cdot\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x = 1 - \frac{1}{2}\cdot\sin^{2}(2x) = \frac{1 + \cos^{2}(2x)}{2}\)

و با تغییر متغیر \(\tan(2x) = t\) حل نمایم. ولی در حالت معین با مشکلی روبرو می شوم که هر دو کران صفر می شود. لطفا کمکم کنید

پاسخ:

داریم: 

\(\displaystyle\cos^4x+\sin^4x=(\cos^2x+\sin^2x)^2-2\cos^2x\sin^2x=1-2\cos^2x\sin^2x\)

\(\displaystyle=\frac{2-\sin^22x}2=\frac{2(1+\tan^22x)-\tan^22x}{2\sec^22x}=\frac{\tan^22x+2}{2\sec^22x}\)

\(\int\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}=\int\frac{2\sec^22x}{\tan^22x+2}dx\)

قرار می دهیم: \(\tan2x=u\)،

\(\int\frac{2\sec^22x}{\tan^22x+2}dx=\int\frac{du}{u^2+(\sqrt2)^2}=\frac1{\sqrt2}\arctan\left(\frac u{\sqrt2}\right)+K\)

\(\implies \int\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}=\frac1{\sqrt2}\arctan\left(\frac{\tan2x}{\sqrt2}\right)+K\ \ \ \ (1)\)

حال \(\displaystyle\tan2x=0\iff 2x=n\pi\iff x=\frac{n\pi}2\) که n یک عدد صحیح است نتیجه می دهد: 

\(\int_0^{2a}f(x)dx=\begin{cases} 2\int_0^af(x)dx &\mbox{if } f(2a-x)=f(x) \\ 0 & \mbox{if } f(2a-x)=-f(x) \end{cases}\)

با جایگذاری \(2a=2\pi\iff a=\pi\) و \(\displaystyle f(x)=\cos^4x+\sin^4x\) داریم: 

\(\displaystyle\cos(2\pi-x)=\cos x,\sin(2\pi-x)=-\sin x\implies f(2\pi-x)=f(x)\)

\(\implies I=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}=2\int_0^{\pi}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}\)

دوباره قرار می دهیم: \(\displaystyle2a=\pi\iff a=\frac\pi2\)

\(\displaystyle\cos(\pi-x)=-\cos x,\sin(\pi-x)=+\sin x\implies f(\pi-x)=f(x)\)

\(\implies I=2\int_0^{\pi}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}2=2\cdot2\int_0^{\dfrac\pi2}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}\)

نهایتا قرار می دهیم: \(\displaystyle2a=\frac\pi2\iff a=\frac\pi4\)

\(\displaystyle\implies\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x,\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x\)

\(\displaystyle\implies I=4\cdot2\int_0^{\dfrac\pi4}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}\)

با توجه به (1) خواهیم داشت: 

\(\displaystyle I=8\left[\frac1{\sqrt2}\arctan\left(\frac{\tan2x}{\sqrt2}\right)+K\right]_0^{\frac\pi4}=\frac8{\sqrt2}\left(\frac\pi2-0\right)\)