در ادامه توابع فرمول های هیپربولیک را قرار می دهیم. 

در منطق گزاره‌ای، شرطی و دوشرطی از مهم‌ترین عملگرهایی هستند که برای بیان رابطه میان دو گزاره به کار می‌روند. گزاره شرطی با نماد \(p\rightarrow q\) نوشته می‌شود و معمولاً به صورت «اگر \(p\)، آنگاه \(q\)» خوانده می‌شود. این گزاره فقط زمانی نادرست است که \(p\) درست و \(q\) نادرست باشد. در مقابل، گزاره دوشرطی با نماد \(p\leftrightarrow q\) نمایش داده می‌شود و زمانی درست است که \(p\) و \(q\) ارزش صدق یکسانی داشته باشند.

در این مقاله تعریف دقیق شرطی و دوشرطی، تفاوت آن‌ها، جدول ارزش، رابطه با عکس و عکس نقیض، مفهوم شرط لازم و کافی، هم‌ارزی‌های مهم و روش حل مثال‌های مختلف بررسی می‌شود.

اعداد صحیح مجموعه‌ای از اعداد مثبت، منفی و صفر هستند و با نماد \( \mathbb{Z} \) نشان داده می‌شوند:

$$ \mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} $$

در این مقاله، تعریف دقیق اعداد صحیح، تفاوت آن‌ها با اعداد طبیعی، جایگاه صفر، اعداد مثبت و منفی، نمایش روی محور اعداد، قدرمطلق، ترتیب و مقایسه، عملیات جمع، تفریق، ضرب و تقسیم و مهم‌ترین ویژگی‌های جبری اعداد صحیح بررسی می‌شود. همچنین با مثال‌های حل‌شده نشان می‌دهیم که چرا اعداد صحیح تحت جمع، تفریق و ضرب بسته‌اند، اما تحت تقسیم بسته نیستند.

اختلالی که ما در حال حاضر به عنوان اسکیزوفرنی می شناسیم، در طول تاریخ موجب سردرگمی بوده است. زمانی تصور می شد که افراد مبتلا به این بیماری به وسیله شیاطین تسخیر شده اند و در نتیجه از آنها می ترسیدند، آنها را عذاب می دادند، تبعید می کردند و یا برای همیشه زندانی می کردند.
با وجود پیشرفت هایی که در زمینه درک علل، سیر بیماری و درمان آن صورت گرفته، اسکیزوفرنی همچنان افراد حرفه ای در زمینه سلامت و عامه مردم را گیج می کند. یک فرد عادی سرطان را بیشتر از رفتارها و ایده های عجیب و غریب و یا توهمات فرد مبتلا به اسکیزوفرنی می فهمد.

گیاهان شامل همه گیاهان خشكی مثل سرخس ها، خزه ها،‌ درختانی با میوه مخروطی مثل كاج، گیاهان گلدار و  همچنین گروه متنوعی از گیاهان شناور در آب هستند. آنها با بیش از 250 هزار گونه بعد از بندپایان بیشترین تعداد گونه های جانداران را دارند.
گیاهان مدت های طولانی است كه وجود دارند. گیاهان ابتدا در دوره اردوویسین (دوره اردوویسین از 505 تا 438 میلیون سال قبل بوده) ظاهر شدند. اما تا آخر دوره سیلورین به گیاهان امروزی شباهت نداشتند. با پایان دوره دوونین، یعنی در حدود 360 میلیون سال قبل، تفاوت گسترده ای در شكل و اندازه گیاهان به وجود آمد و گیاهان از خزه های ریز تا گیاهان جنگلی بلند را شامل شدند.