مجموعه توانی یک مجموعه جدید است که همه زیرمجموعه‌های یک مجموعه مشخص را در خود جای می‌دهد. اگر \(A\) یک مجموعه باشد، مجموعه توانی آن با \(\mathcal{P}(A)\) نشان داده می‌شود و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\mathcal{P}(A)=\{B\mid B\subseteq A\}$$

بنابراین، اعضای مجموعه توانی خودشان مجموعه هستند. هر مجموعه، از جمله مجموعه تهی، همیشه دارای مجموعه توانی است و اگر \(A\) متناهی و دارای \(n\) عضو باشد، مجموعه توانی آن دقیقاً \(2^n\) عضو دارد. در این مقاله تعریف دقیق، روش ساخت مجموعه توانی، خواص مهم، رابطه آن با زیرمجموعه‌ها، فرمول تعداد زیرمجموعه‌ها و چند مثال حل‌شده را بررسی می‌کنیم.

مجموعه‌ها از بنیادی‌ترین مفاهیم ریاضیات هستند و یکی از نخستین پرسش‌ها درباره هر مجموعه این است که آیا تعداد اعضای آن محدود است یا خیر. اگر بتوان اعضای یک مجموعه را با تعداد مشخصی از اعداد طبیعی شماره‌گذاری کرد، آن مجموعه متناهی است؛ در غیر این صورت، مجموعه نامتناهی خواهد بود.

در این مقاله با مفهوم مجموعه‌های متناهی و نامتناهی، روش مقایسه اندازه مجموعه‌ها، مفهوم کاردینالیتی، مجموعه‌های شمارای نامتناهی و مجموعه‌های ناشمارا آشنا می‌شویم. همچنین با مثال‌هایی مانند مجموعه اعداد طبیعی، اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد حقیقی نشان می‌دهیم که «نامتناهی بودن» به معنای یکسان بودن اندازه همه مجموعه‌های نامتناهی نیست.