هم‌ارزی منطقی یکی از مفاهیم اساسی در منطق گزاره‌هاست و زمانی برقرار است که دو گزاره یا عبارت منطقی، برای تمام حالت‌های ممکنِ ارزش‌دهی به گزاره‌های ساده، دقیقاً ارزش صدق یکسانی داشته باشند. اگر دو گزاره \(p\) و \(q\) در همه حالت‌ها هم‌ارزش باشند، آن‌ها را با نماد \(p \equiv q\) نشان می‌دهیم.

یکی از مهم‌ترین روش‌های بررسی هم‌ارزی منطقی، استفاده از جدول ارزش است. همچنین دو عبارت \(p\) و \(q\) دقیقاً زمانی هم‌ارز منطقی هستند که گزاره دوشرطی \(p \leftrightarrow q\) یک همان‌گویی باشد؛ یعنی در تمام حالت‌ها ارزش «درست» داشته باشد.

در این مقاله تعریف رسمی هم‌ارزی منطقی، تفاوت آن با تساوی و استلزام منطقی، قوانین مهم مانند قوانین دمورگان، جابه‌جایی، شرکت‌پذیری و توزیع‌پذیری، روش اثبات هم‌ارزی با جدول ارزش و چند مثال حل‌شده از ساده تا پیشرفته بررسی می‌شود.

عطف و فصل از بنیادی‌ترین عملگرهای منطق گزاره‌ای هستند که برای ساخت گزاره‌های مرکب از گزاره‌های ساده به کار می‌روند. عطف با نماد \(p\land q\) نشان داده می‌شود و تنها زمانی درست است که هر دو گزاره \(p\) و \(q\) درست باشند. فصل با نماد \(p\lor q\) نشان داده می‌شود و در منطق گزاره‌ای کلاسیک زمانی درست است که دست‌کم یکی از دو گزاره درست باشد؛ بنابراین حالت درست بودن هم‌زمان هر دو گزاره نیز در آن قرار می‌گیرد.

در این مقاله تعریف دقیق عطف و فصل، نمادگذاری، جدول ارزش، خواص مهم، قوانین دمورگان، تفاوت فصل منطقی با «یا»ی انحصاری، تقدم عملگرها، روش تحلیل گزاره‌های مرکب و مثال‌های حل‌شده از ساده تا ترکیبی بررسی می‌شود.

منطق ریاضی یکی از مباحث بنیادی ریاضیات است که به بررسی گزاره‌ها، ارزش صدق آن‌ها و روش ترکیب و تحلیل عبارت‌های منطقی می‌پردازد. در این حوزه، جمله‌های ریاضی به زبان دقیق‌تری بیان می‌شوند تا بتوان درست یا نادرست بودن آن‌ها و رابطه منطقی میان آن‌ها را بررسی کرد.

مفاهیمی مانند گزاره، نقیض، عطف، فصل، شرطی، دوشرطی، جدول ارزش، هم‌ارزی منطقی و کمیت‌نماها از مهم‌ترین ابزارهای منطق ریاضی هستند. این مفاهیم در کنار یکدیگر پایه‌ای برای مطالعه اثبات‌های ریاضی، ریاضیات گسسته، نظریه مجموعه‌ها، نظریه الگوریتم‌ها و بسیاری از مباحث علوم کامپیوتر فراهم می‌کنند.

در این مقاله، ساختار کلی منطق ریاضی و ارتباط میان مفاهیم اصلی آن را بررسی می‌کنیم و سپس هر یک از موضوعات مهم را به‌صورت مقدماتی معرفی می‌کنیم.

متمم مجموعه مجموعه‌ای از عناصری است که در یک مجموعه مرجع قرار دارند اما عضو مجموعه موردنظر نیستند. اگر \(A\) زیرمجموعه‌ای از مجموعه مرجع \(U\) باشد، متمم \(A\) شامل تمام عناصری از \(U\) است که در \(A\) وجود ندارند:

$$ A^c = \{x \in U \mid x \notin A\} $$

در این مقاله با مفهوم مجموعه مرجع، تعریف دقیق متمم، نمادگذاری‌های رایج، رابطه متمم با اجتماع و اشتراک، قوانین دمورگان، متمم مجموعه تهی و مجموعه مرجع، و روش حل مسائل مربوط به متمم مجموعه آشنا می‌شوید.