اتحادهای مهم مجموعه‌ای از رابطه‌های جبری شناخته‌شده هستند که محاسبه، بسط، ساده‌سازی و تجزیه عبارت‌های جبری را سریع‌تر و منظم‌تر می‌کنند. این رابطه‌ها از الگوهایی مانند مربع دو جمله‌ای، حاصل‌ضرب دو عبارت مزدوج، مکعب دو جمله‌ای و مجموع و تفاضل مکعب‌ها تشکیل می‌شوند.

شناخت این الگوها به جای انجام ضرب‌های طولانی، امکان می‌دهد ساختار یک عبارت جبری را سریع تشخیص دهیم و مناسب‌ترین رابطه را به کار ببریم. همچنین بسیاری از روش‌های تجزیه چندجمله‌ای‌ها بر تشخیص معکوس همین الگوها استوار هستند.

هم‌ارزی منطقی یکی از مفاهیم اساسی در منطق گزاره‌هاست و زمانی برقرار است که دو گزاره یا عبارت منطقی، برای تمام حالت‌های ممکنِ ارزش‌دهی به گزاره‌های ساده، دقیقاً ارزش صدق یکسانی داشته باشند. اگر دو گزاره \(p\) و \(q\) در همه حالت‌ها هم‌ارزش باشند، آن‌ها را با نماد \(p \equiv q\) نشان می‌دهیم.

یکی از مهم‌ترین روش‌های بررسی هم‌ارزی منطقی، استفاده از جدول ارزش است. همچنین دو عبارت \(p\) و \(q\) دقیقاً زمانی هم‌ارز منطقی هستند که گزاره دوشرطی \(p \leftrightarrow q\) یک همان‌گویی باشد؛ یعنی در تمام حالت‌ها ارزش «درست» داشته باشد.

در این مقاله تعریف رسمی هم‌ارزی منطقی، تفاوت آن با تساوی و استلزام منطقی، قوانین مهم مانند قوانین دمورگان، جابه‌جایی، شرکت‌پذیری و توزیع‌پذیری، روش اثبات هم‌ارزی با جدول ارزش و چند مثال حل‌شده از ساده تا پیشرفته بررسی می‌شود.

در فلسفه اصطلاح استقرایی یا پسینی (A posteriori) به معنی آن چیزی است که بعد از تجربه می آید. به این ترتیب آن چه که به عنوان پسینی شناخته شده بر اساس منطقی است که از تجربه مشتق شده است. معرفت پسینی اغلب با معرفت پیشینی مقایسه می شود. معرفت پیشینی درست بودن را تنها بر پایه استدلال می گذارد.

تاریخچه ثبت شده صنعت مهمان نوازی (هتل، رستوران و ...) با سومری ها (Sumerians)، مردمانی که در حدود 4000 پیش از میلاد در نزدیکی خلیج فارس زندگی می کردند آغاز می شود. بیشتر قلمروی زندگی سومری ها کشور عراق کنونی بوده است. به دلیل حاصلخیزی منطقه، برخی از سومری ها کشاورزان و دامدارانی چیره دست بودند.
مهارتی که از آن برخوردار بودند آنان را به افزایش کشت و کار قادر نمود. وجود محصول غله کافی سبب شد عده ای به عنوان صنعتگر، توان و نیرویشان را صرف فعالیت های دیگری هم چون ساختن ابزار، ساختمان و کوزه کنند. از سویی هم غله اضافی مورد داد و ستد قرار می گرفت. سومری ها مخترع پول و نوشتن بودند که عناصر اصلی توسعه کسب و کارند.