ولادیمیر ایگورویچ آرنولد 
Vladimir Igorevich Arnold متولد ۱۲ ژوئن ۱۹۳۷ در اودسا، اتحاد جماهیر شوروی سوسیالیستی و درگذشتهٔ ۳ ژوئن ۲۰۱۰ در پاریس، فرانسه، ریاضیدان روس بود. اگرچه وی را بیش از هر چیزی به خاطر قضیه کولموگروف- آرنولد – موزر در مورد پایداری سامانه‌های انتگرال‌پذیر می‌شناسند، اما او مشارکت‌های متعددی در زمینه‌های سامانه‌های دینامیکی، نظریه فاجعه، توپولوژی، هندسه جبری، مکانیک کلاسیک، قضیه تکینگی و رده‌بندی ای دی ای داشته است.
On teaching mathematics
چرا باید ریاضیات بخوانیم؟ راجر بیکن، فیلسوف انگلیسی در سال ۱۲۶۷ میلادی پاسخ این سوال را چنین داده است :

کسی که این کار را نکند نمی‌تواند چیزی از بقیه علوم و هر آنچه دراین جهان است بفهمد… چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمی‌دانند به جهالت خودشان پی نمی‌برند ودر نتیجه در پی چاره‌جویی بر نمی‌آیند.

می‌توانم همین جا سخنرانیم را پایان دهم، اما ممکن است بعضی‌ها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد….  شاهدی تازه تر می‌آورم، پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی‌ای را پایه ریزی می‌کنید، نباید به هیچ شهود فیزیکی‌ای اعتماد کنید. پس به چه چیزی اعتماد کنید؟ … به گفته این فیزیکدان مشهور فقط به برنامه‌ای متکی بر ریاضیات، ولو این‌که در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد. در حقیقت در فیزیک تمامی ایده‌های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن را کنار گذاشته‌اند، در حالی که الگوهای ریاضی‌ای که به زرادخانه فیزیکدان‌ها راه یافته‌اند، به تدریج معنای فیزیکی یافته‌اند. در اینجاست که قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ می‌نمایاند. بنابراین الگوسازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است. اکنون می‎خواهیم الگوهای ریاضی را از نگاهی دیگر یعنی مسئله آموزش ریاضی بررسی کنیم.

سه روش آموزش ریاضیات

در آموزش ریاضیات روسی (هم در دبیرستان و هم در مقاطع بالاتر) ما پیرو نظام آموزشی اروپایی هستیم که بر اساس بورباکی‎‌ای سازی ریاضیات بنا شده است، نیکلاس بورباکی نام مستعار گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که ازسال ۱۹۳۹ به انتشار مجموعه‌ای از کتاب‌ها دست زده‌اند که در آنها شاخه‌های اصلی ریاضیات جدید به طور اصولی، یعنی به روش اصل موضوعی براساس نظریه مجموعه‌ها، شرح داده شده است. اصولی کردن ریاضیات به نوعی تصنعی کردن آموزش آن منجر می‌شود و این زیانی است که بورباکی‌ای

سازی به آموزش ریاضیات وارد کرده است. نمونه‌ای شگرف مثال زیر است :

از دانش آموز سال دومی مدرسه ای در فرانسه پرسیده‌اند، دو بعلاوه ی سه چقدر می‌شود؟، پاسخ چنین بود : چون جمع تعویض پذیر است می‌شود سه بعلاوه دو.

پاسخی واقعا قابل تامل! کاملا درست است، اما دانش‌آموزان حتی به جمع کردن ساده این دو عدد هم فکر نکرده‌اند، زیرا در تعلیم آنها تکیه بر ویژگی‌های عمل‌ها بوده است. در اروپا معلمان متوجه نارسایی‌های این روش شده‌اند و بورباکی‌سازی را کنار گذاشته‌اند.

طی چند سال گذشته آموزش ریاضیات روسی دستخوش تغییراتی به سبک آمریکایی شده است. اساس این سبک این اصل است : آنچه را که برای کاربردهای عملی لازم است، آموزش بدهید. در نتیجه کسی که فکر می‌کند به ریاضیات احتیاجی نخواهد داشت، اصلآ لازم نیست آن را بخواند. ریاضیات درسی اختیاری در دوره راهنمایی و دبیرستان است، مثلآ یک سوم دانش‌آموزان دبیرستانی جبر نمی‌خوانند. نتیجه این امر را در مثال زیر روشن کرده‌ایم :

در آزمونی برای دانش‌آموزان چهارده ساله آمریکایی از آنها خواسته شده بود که برآورد کنند (نه این‌که حساب کنند، بلکه برآورد کنند) که اگر ۸۰ درصد از عدد ۱۲۰ رابرداریم، این عدد چه تغییری می‌کند. سه نوع پاسخ را می‌توانستند انتخاب کنند : زیاد می‌شود، تغییری نمی‌کند، کمتر می‌شود.

تقریبآ ۳۰ درصد دانش‌آموزان سؤال شونده، پاسخ درست را برگزیده بودند. یعنی این‌که پاسخ‌ها را تصادفی انتخاب کرده بودند. نتیجه : هیچ کس هیچ چیز نمی‌داند. دومین ویژگی شاخص روش آموزش ریاضی آمریکایی، کامپیوتری کردن آن است. جذابییت کار با کامپیوتر به خودی خود به گسترش توانایی‌های فکری کمکی نمی‌کند. مثالی دیگر از یکی از آزمون‌های آمریکا میاوریم :

کلاسی ۲۶ دانش‌آموز دارد. این دانش‌آموزان می‌خواهند با اتومبیل به مسافرت بروند. در هر اتومبیل یک نفر از اولیا و چهار دانش‌آموز جا می‌شوند. چند نفر از اولیا را می‌توانیم دعوت کنیم؟

جوابی که همه داده بودند، ۶۵ نفر بود جواب کامپیوتر است ودانش‌آموزان می‌دانستند که اگر جواب باید عددی صحیح باشد، می‌توان بلایی سر ممیز آورد، مثلآ می‌توان اصلآ آن را برداشت.

نمونه دیگری از یکی از آزمون‌های رسمی دانش آموزی در سال ۱۹۹۲ می‌آوریم :

رابطه کدام زوج شباهت بیشتری به رابطه میان زاویه و درجه دارد :

• الف) زمان وساعت
• ب) شیر وکوارت (واحد اندازه‌گیری مایعات برابر با ۴۴/۱ لیتر)
• ج) مساحت و اینچ مربع

پاسخ، مساحت و اینچ مربع است، زیرا درجه کوچکترین واحد اندازه گیری زاویه و اینچ مربع کوچکترین واحد اندازه‌گیری مساحت است، اما ساعت را می‌‌توان به دقیقه هم تقسیم کرد.

طراح این مسئله مسلمآ مطابق نظام امریکایی می‌اندیشیده است. می‌ترسم که طولی نکشد که ما هم به چنین سطح نازلی برسیم.(جو برمن، استاد ریاضی در نیویورک توضیح داده که (از نظر او که آمریکایی است)، پاسخ درست این مسئله کاملآ روشن است. او گفت که اصل مطلب این است که من می‌توانم میزان حماقت طراح این مسئله را دقیقآ تصور کنم. مایه شگفتی است که تعداد زیادی ریاضیدان و فیزیکدان برجسته در ایالات متحده وجود دارد.

امروزه آموزش ریاضیات ما آرام آرام از نظام اروپایی به نظام آمریکایی تبدیل می‌شود. مطابق معمول، باز هم عقبیم، حدود سی سال از اروپا عقب‌تریم و بنابراین سی سال بعد زمان آن فرا می‌رسد که اوضاع را سر و سامان دهیم و از چاهی که با طناب نظام آموزشی آمریکایی به آن رفته‌ایم، بیرون بیاییم.

سطح آموزش ریاضی سنتی ما بسیار بالا و بر اساس آموزش مسئله‌های حساب بوده است. حتی تا همین بیست سال پیش هم خانواده‌هایی بودند که نسخه‌هایی از کتاب‌های قدیمی مربوط به مسئله‌های سود و زیان را داشتند. در حال حاضر، همه این‌ها از بین رفته است. در آخرین اصلاحات آموزش ریاضی، جبری سازی، دانش‌آموزان را به روبات تبدیل کرده است.

مساله‌های حساب است که بی‌محتوایی ریاضیاتی را که تدریس می‌کنیم، نشان می‌دهند. مثلآ این مسئله را در نظر بگیرید :

1. سه تا سیب داریم. یکی را برمی‌داریم.چند تا باقی مانده است؟
2. چند برش با اره لازم است، تا تکه‌ای هیزم را به سه بخش تقسیم کنیم؟
3. تعداد خواهران بوریس از تعداد برادرانش بیشتر است. در خانواده او تعداد دختران چند تا بیشتر از تعداد پسران است؟

از منظر حساب اینها مساله‌های متفاوتی هستند، زیرا محتوایشان فرق می‌کند. همچنین، تلاش فکری لازم برای حل کردن مسئله‌ها هم کاملآ متفاوت است، هر چند که الگوی جبری هر یک از آنها یکی است : ۲=۱-۳ جالب توجه‌ترین نکته در ریاضیات، فراگیر بودن شگفت‌آور الگوها و کارایی نامحدود آنها در مساله‌های علمی است.

به قول ولادیمیر مایاکوفسکی، شاعر بزرگ روس : کسی که اولین بار دو بعلاوه دو می‌شود چهار را مطرح کرده است، حتی اگر با جمع کردن دو تا ته سیگار با دو تا ته سیگار دیگر به این حقیقت رسیده باشد، ریاضیدان بزرگی بوده است. هر کس پس از او به این نتیجه رسیده باشد، حتی اگر چیزهای بسیار بزرگتری، مثل لوکوموتیوها را با هم جمع کرده باشد، ریاضیدان نیست. لوکوموتیو شماری، روش آمریکایی آموزش ریاضیات است. چنین چیزی مصیبت بار است. طرز پیشرفت فیزیک در ابتدای سال اخیر نمونه‌‌ای است که نشان می‌دهد ریاضیات لوکوموتیوی به مراتب از ریاضیات ته سیگاری به درد نخورتر است : ریاضیات کاربردی نتوانسته همگام با فیزیک پیشرفت کند، در حالی که ریاضیات نظری هر آنچه را که فیزیکدانان برای بسط بیشتر دانش خودشان نیاز داشته‌اند، برایشان فراهم کرده است. ریاضیات لوکوموتیوی از روال معمول عقب می‌ماند : تا حساب کردن با چرتکه را آموزش بدهیم، سر و کله کامپیوترها پیدا می‌شود. باید شیوه فکر کردن را آموزش بدهیم، نه طرز فشار دادن دکمه‌ها را.