انحراف معیار چیست و چرا اهمیت دارد؟

انحراف معیار (که معمولاً با حرف کوچک یونانی سیگما σ نشان داده می‌شود) شاخصی است که نشان می‌دهد داده‌ها چقدر از میانگین خود فاصله دارند. این مفهوم در ریاضیات، علوم و به ویژه در گزارش‌های آزمایشگاهی کاربرد فراوانی دارد. دانشمندان و آمارشناسان از انحراف معیار برای سنجش نزدیکی داده‌ها به میانگین استفاده می‌کنند. خوشبختانه، محاسبه آن نسبتاً آسان است و حتی بسیاری از ماشین حساب‌ها این قابلیت را دارند. با این حال، درک روش محاسبه دستی آن نیز حائز اهمیت است.

نکات کلیدی

• انحراف معیار به سادگی نشان می‌دهد که داده‌ها چقدر با میانگین تفاوت دارند.
• از انحراف معیار نمونه برای داده‌هایی که نماینده یک جمعیت بزرگتر هستند و از انحراف معیار جمعیت برای مجموعه‌های داده کامل استفاده کنید.
• برای محاسبه انحراف معیار، ابتدا میانگین و واریانس را محاسبه کرده، سپس تقسیم و در نهایت جذر بگیرید.

روش‌های محاسبه انحراف معیار

دو روش اصلی برای محاسبه انحراف معیار وجود دارد: انحراف معیار جمعیت و انحراف معیار نمونه. اگر داده‌ها را از تمام اعضای یک جمعیت یا مجموعه جمع‌آوری کنید، از انحراف معیار جمعیت استفاده می‌کنید. اما اگر داده‌ها نماینده نمونه‌ای از یک جمعیت بزرگتر باشند، از فرمول انحراف معیار نمونه استفاده خواهید کرد.

معادلات/محاسبات تقریباً یکسان هستند، با دو تفاوت اساسی: در انحراف معیار جمعیت، واریانس بر تعداد داده‌ها (N) تقسیم می‌شود، در حالی که در انحراف معیار نمونه، واریانس بر تعداد داده‌ها منهای یک (N-1، درجه آزادی) تقسیم می‌شود.

از کدام معادله استفاده کنم؟

به طور کلی، اگر داده‌هایی را تجزیه و تحلیل می‌کنید که نماینده یک مجموعه بزرگتر هستند، انحراف معیار نمونه را انتخاب کنید. اگر داده‌ها را از تمام اعضای یک مجموعه جمع‌آوری می‌کنید، انحراف معیار جمعیت را انتخاب کنید.

مثال‌ها:

• انحراف معیار جمعیت - تحلیل نمرات امتحان یک کلاس.
• انحراف معیار جمعیت - تحلیل سن پاسخ دهندگان در یک سرشماری ملی.
• انحراف معیار نمونه - تحلیل اثر کافئین بر زمان واکنش افراد بین 18 تا 25 سال.
• انحراف معیار نمونه - تحلیل میزان مس در آب آشامیدنی شهری.

محاسبه انحراف معیار نمونه

در اینجا دستورالعمل‌های گام به گام برای محاسبه دستی انحراف معیار نمونه آورده شده است:

1. محاسبه میانگین: میانگین هر مجموعه داده را محاسبه کنید. برای این کار، تمام اعداد موجود در مجموعه داده را جمع کنید و بر تعداد کل داده‌ها تقسیم کنید. به عنوان مثال، اگر چهار عدد در مجموعه داده دارید، مجموع را بر چهار تقسیم کنید.
2. محاسبه انحرافات: انحراف هر داده را با کم کردن میانگین از آن عدد محاسبه کنید. توجه داشته باشید که انحراف هر داده می‌تواند مثبت یا منفی باشد.
3. به توان رساندن انحرافات: هر یک از انحرافات را به توان دو برسانید.
4. جمع انحرافات به توان دو: تمام انحرافات به توان دو رسیده را با هم جمع کنید.
5. تقسیم بر درجه آزادی: این عدد را بر یک عدد کمتر از تعداد اعضای مجموعه داده تقسیم کنید. برای مثال، اگر چهار عدد داشتید، بر سه تقسیم کنید.
6. محاسبه جذر: از مقدار حاصل، جذر بگیرید. این مقدار، انحراف معیار نمونه است.

محاسبه انحراف معیار جمعیت

1. محاسبه میانگین: میانگین مجموعه داده را محاسبه کنید. برای این کار، تمام اعداد موجود در مجموعه داده را جمع کنید و بر تعداد کل داده‌ها تقسیم کنید. به عنوان مثال، اگر چهار عدد در مجموعه داده دارید، مجموع را بر چهار تقسیم کنید.
2. محاسبه انحرافات: انحراف هر داده را با کم کردن میانگین از آن عدد محاسبه کنید. توجه داشته باشید که انحراف هر داده می‌تواند مثبت یا منفی باشد.
3. به توان رساندن انحرافات: هر یک از انحرافات را به توان دو برسانید.
4. جمع انحرافات به توان دو: تمام انحرافات به توان دو رسیده را با هم جمع کنید.
5. تقسیم بر تعداد داده‌ها: این مقدار را بر تعداد کل داده‌های موجود در مجموعه داده تقسیم کنید. برای مثال، اگر چهار عدد داشتید، بر چهار تقسیم کنید.
6. محاسبه جذر: از مقدار حاصل، جذر بگیرید. این مقدار، انحراف معیار جمعیت است.