نقشه : کسی نیست که در هنگام به کار بردن این شگرد از فهم آن عاجز باشد. برای ضرب کردن دو عدد دو رقمی بدون آن که ظاهراً کاری انجام شود ، ابتدا رقم های دهگان را در هم ضرب کنید ، بعد " متقاطع ضرب کنید " و دست آخر رقم های دهگان را در هم ضرب کنید. هر وقت حاصل ضرب از 9 بیشتر شود حتماً عدد نقلی ( منظور از عدد نقلی رقم دهگان این حاصل ضرب است که در گذشته آن را ده بر یک می نامیدند.) دارید. همان طور که در مثال های زیر می بینید هنگام انجام دادن این شگرد باید از راست به چپ عمل کنید. 

در ادامه دو سوال که بصورت جزوه باز (Opne Book) مطرح شده است را ملاحظه می نمایید

دو استاد از دانشگاه ایلینویز جوهر رسانایی تولید کرده‌اند که می‌تواند در قلم‌های سرغلتکی مرسوم برای ترسیم دستی مدارها بر روی کاغذ و سایر مواد متخلخل استفاده شود. جنیفر لویس، جنیفر برنهارد و همکارانشان توضیح می‌دهند که چطور آنها قادر به ساخت نوعی جوهر از نانوذرات نقره شده‌اند که مادامی که در داخل قلم است، به صورت مایع باقی می‌ماند ولی به محض استفاده مانند جوهر معمولی خشک می‌شود. این قلم در ترسیم یک صفحه نمایش LCD واقعی و یک آنتن مورد استفاده واقع شد.

اعداد گنگ اعداد حقیقی‌ای هستند که نمی‌توان آن‌ها را به صورت نسبت دو عدد صحیح با مخرج ناصفر نوشت. به بیان دقیق‌تر، اگر عدد حقیقی \(x\) را نتوان به صورت \(\frac{p}{q}\) با \(p,q\in\mathbb{Z}\) و \(q\neq0\) نوشت، آن عدد گنگ است. عددهایی مانند \(\sqrt{2}\)، \(\sqrt{3}\) و \(\pi\) نمونه‌هایی از اعداد گنگ هستند.

نمایش اعشاری یک عدد گنگ نامتناهی و غیردوره‌ای است؛ بنابراین اعداد گنگ برخلاف اعداد گویا، نه نمایش اعشاری متناهی دارند و نه اعشاری که از جایی به بعد به‌صورت دوره‌ای تکرار شود. در این مقاله تعریف دقیق، ویژگی‌ها، روش‌های تشخیص، اثبات گنگ بودن \(\sqrt{2}\)، رابطه اعداد گنگ با اعداد گویا و حقیقی، خواص جبری، مثال‌های حل‌شده و کاربردهای این اعداد را بررسی می‌کنیم.