سوال اول

فرض کنید n+1 آوند به شماره های 0 تا n در اختیار داریم، به قسمی که i مین آوند دارای i مهره قرمز و n-i مهره سفید است،  \(0< i < n\). یک آوند را به تصادف انتخاب کرده و سپس به تصادف مهره های آن را یکی بعد از دیگری و با جایگذاری خارج می کنیم. اگر m مهره اول همه قرمز باشند احتمال آن که  \((m+1)\) مین مهره نیز قرمز باشد چقدر است؟

حل: 

پیشامدهای زیر را در نظر بگیرید:

\(A_i\): پیشامد انتخاب آوند i-ام 

\(R_m\) یعنی m مهره انتخابی اول همگی قرمز باشند

R پیشامدی که می گوید m+1 مین مهره قرمز باشد. 

با فرض وقوع  \(A_i\)، پیشامدهای  \(R_m\) و R به طور شرطی مستقل هستند. بنابراین: 

\(P(R|R_mA_i)=P(R|A_i)=\frac{i}{n} \quad (*)\)

بنابر فرمول بیز داریم: 

\(P(A_i|R_m)=\frac{P(R_m|A_i)P(A_i)}{\sum_{k=0}^n{P(R_m|A_k)P(A_k)}}=\frac{{(i/n)}^m(1/n+1)}{\sum_{k=0}^n{(k/n)}^m{(1/n+1)}}=\frac{{(i/n)}^m}{\sum_{k=0}^n{(k/n)}^m} \quad (**) \)

اکنون برای محاسبه  \(P(R|R_m)\) از برابری زیر استفاده می کنیم: 

\(P(R|R_m)=\sum_{i=0}^nP(R|R_mA_i)P(A_i|R_m) \quad (***)\)

در نتیجه با جایگذاری  \((*)\) و  \((**)\) در  \((***)\) خواهیم داشت: 

\(P(R|R_m)=\frac{\sum_{i=0}^n(i/n)^{m+1}}{{\sum_{k=0}^n(k/n)^{m}}}\)

اکنون برای محاسبه سری های صورت و مخرج از انتگرال معین کمک می گیریم، از ریاضیات (1) به یاد داریم که: 

\(\lim _{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(i/n)=\int _0 ^1 f(x) \text{dx}\)

بنابراین: 

\(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n(i/n)^{m+1}=\int _0 ^1 x^{m+1} \text{dx}=\left. \frac{x^{m+2}}{m+2} \right|_0^1 =\frac{1}{m+2}\)

بصورت مشابه: 

\(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n(k/n)^{m}=\int _0 ^1 x^{m} \text{dx}=\left. \frac{x^{m+1}}{m+1} \right|_0^1 =\frac{1}{m+1}\)

در نتیجه جواب نهایی بصورت زیر در می آید:

\(P(R|R_m)=\frac{\sum_{i=0}^n(i/n)^{m+1}}{{\sum_{k=0}^n(k/n)^{m}}}=\frac{\frac{1}{m+2}}{\frac{1}{m+1}}=\frac{m+1}{m+2}\)

سوال دوم: 

بیماری هموفیلی یک بیماری ارثی است. اگر مادری به این بیماری مبتلا باشد، آن گاه به احتمال  \(1 \over 2\) هر یک از فرزندان پسرش مستقلا این بیماری را به ارث می برند. در غیر این صورت هیچ یک از فرزندان این مادر هموفیلی نمی شوند. خانمی مادر 2 پسر است و پرونده پزشکی خانواده او نشان می دهد که با احتمال  \(1 \over 4\) این خانم هموفیلی است. مطلوب است احتمال آن که (الف) اولین پسر فرزند این خانم هموفیلی باشد، (ب) دومین فرزند پسر این خانم هموفیلی باشد، (ج) هیچ یک از فرزندان پسر این خانم هموفیلی نباشند. 

حل:

پیشامدهای زیر را در نظر می گیریم: 

\(H_2, H_1, H\) به ترتیب از راست به چپ پیشامد اینکه خانم، پسر اول و پسر دوم او هموفیلی باشد. به شرط وقوع  \(H\)،  \(H_1\) و  \(H_2\) به طور شرطی مستقل اند. اما اگر یکی از پسران هموفیلی باشد، در این صورت مادر هموفیلی است و با احتمال  \(1 \over 2\) پسر دیگر نیز هموفیلی است. 

الف- داریم:  \(P(H_1)=P(H_1|H)P(H)+P(H_1|H^c)P(H^c)={{1} \over {2}}\times {{1} \over {4}}+0 \times {{3} \over {4}}={{1} \over {8}}\)

ب - مشابها:  \(P(H_2)={{1} \over {8}}\)

ج - داریم:  \(P(H_1^cH_2^c)=P(H_1^cH_2^c|H)P(H)+P(H_1^cH_2^c|H^c)P(H^c)\)

داریم:  \(P(H_1^cH_2^c|H^c)=1\)

همچنین: 

\(P(H_1^cH_2^c|H)=P(H_1^c|H)P(H)+P(H_2^c|H^c)P(H)={{1} \over {2}}\times {{1} \over {2}}={{1} \over {4}}\)

در نتیجه:  \(P(H_1^cH_2^c)=P(H_1^cH_2^c|H)P(H)+P(H_1^cH_2^c|H^c)P(H^c)={{1} \over {4}}\times {{1} \over {4}}+1\times {{3} \over {4}}={{13} \over {16}}\)

موفق باشید، اوج بگ