معادله درجه دوم: \(ax^2 + bx + c = 0\)
راه حل (ریشه ها): \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
اگر \(D = b^2 - 4ac\) مشخص باشد، آنگاه ریشه ها:
- حقیقی و منحصربفرد هستند در صورتی که \(D > 0\)
- حقیقی و مساوی هستند، در صورتی که \(D = 0\)
- مزدوج مختلط هستند، درصورتی که \(D < 0\)
معادله درجه سوم: \(x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 = 0\)
در نظر بگیرید:
\(\begin{aligned} Q &= \frac{3a_2 - a_1^2}{9} \\ R &= \frac{9a_1a_2 - 27a_3 - 2a_1^3}{54} \\ S &= \sqrt[\Large3]{R + \sqrt{Q^3 + R^2}} \\ T &= \sqrt[\Large3]{R - \sqrt{Q^3 + R^2}} \end{aligned}\)
در این صورت جواب ها (ریشه ها)ی معادله درجه سه به صورت زیر است:
\(\begin{aligned} x_1 &= S + T - \frac{1}{3}a_1 \\ x_2 &= -\frac{1}{2} (S + T) - \frac{1}{3}a_1 + \frac{1}{2}\,i\,\sqrt{3}(S-T) \\ x_3 &= -\frac{1}{2} (S + T) - \frac{1}{3}a_1 - \frac{1}{2}\,i\,\sqrt{3}(S-T) \end{aligned}\)
اگر مقدار \(D = Q^3 + R^2\) مشخص باشد، در این صورت:
- یک ریشه حقیقی و دو ریشه مزدوج مختلط دارد، در صورتی که \(D > 0\)
- تمام ریشه ها حقیقی هستند و حداقل دو عدد از ریشه ها مساوی هستند، در صورتی که \(D = 0\)
- تمام ریشه ها حقیقی و نابرابر هستند، درصورتی که \(D < 0\)
معادله درجه چهارم: \(x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_4 = 0\)
فرض کنید \(y_1\) یک ریشه حقیقی از معادله درجه چهارم زیر باشد:
\(y^3 - a_2y^2 + (a_1a_3-4a_4)y+(4a_2a_4 - a_3^2 - a_1^2a_4) = 0\)
در این صورت جواب های معادله درجه چهارم، چهار ریشه معادله زیر است:
\(z^2 + \frac{1}{2}\left(a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_2+4y_1}\right)z + \frac{1}{2}\left(y_1 \pm \sqrt{y_1^2 - 4a_4}\right)= 0\)