مقدمه

یک کارگاه کوچک میز و صندلی می‌سازد. ساخت هر میز ۱ ساعت برش و ۱ ساعت مونتاژ و هر صندلی ۱ ساعت برش و ۲ ساعت مونتاژ لازم دارد؛ در روز حداکثر ۴ ساعت برش و ۶ ساعت مونتاژ در دسترس است. اگر \( x \) میز و \( y \) صندلی بسازیم، باید هم‌زمان \( x+y \leq 4 \)، \( x+2y \leq 6 \)، \( x \geq 0 \) و \( y \geq 0 \) برقرار باشد. هیچ‌یک از این شرط‌ها به‌تنهایی برنامه‌ی تولید را مشخص نمی‌کند؛ آنچه مهم است مجموعه‌ی نقاطی است که همه‌ی شرط‌ها را با هم برآورده کنند. این همان مفهوم دستگاه نامعادلات است.

پیش‌نیازها

• حل نامعادله خطی و نامعادله درجه دوم
• اشتراک مجموعه‌ها و نمایش با بازه
• رسم خط با معادله‌ی \( ax+by=c \) در صفحه‌ی مختصات

تعریف دقیق

تعریف رسمی: دستگاه نامعادلات مجموعه‌ای از دو یا چند نامعادله با مجهول‌های مشترک است. مجموعه جواب دستگاه، مجموعه‌ی همه‌ی مقادیر (یا زوج‌های مرتب، در حالت دومتغیره) است که در همه‌ی نامعادله‌ها صدق می‌کنند:

$$ S=S_1 \cap S_2 \cap \cdots \cap S_n $$

که \( S_i \) مجموعه جواب نامعادله‌ی \( i \)-ام است.

تعریف شهودی: هر نامعادله یک «فیلتر» است. دستگاه یعنی عبور دادن اعداد از همه‌ی فیلترها پشت سر هم؛ آنچه باقی می‌ماند جواب است. اگر فیلترها با هم ناسازگار باشند، چیزی باقی نمی‌ماند و دستگاه جواب ندارد.

مفاهیم اصلی

• دستگاه یک‌متغیره: جواب، اشتراک چند زیرمجموعه از محور اعداد است.
• نیم‌صفحه: مجموعه جواب نامعادله‌ی خطی دومتغیره مثل \( ax+by \leq c \)؛ خط \( ax+by=c \) صفحه را به دو نیم‌صفحه تقسیم می‌کند و نامعادله یکی از آن دو را انتخاب می‌کند.
• خط مرزی: در نامساوی نااکید (\( \leq \)، \( \geq \)) پیوسته و جزو جواب، و در نامساوی اکید خط‌چین و خارج از جواب رسم می‌شود.
• نقطه‌ی آزمون: نقطه‌ای خارج از خط مرزی (اغلب مبدأ) که با جای‌گذاری در نامعادله، طرف درست را نشان می‌دهد.
• ناحیه‌ی جواب (ناحیه‌ی شدنی): اشتراک همه‌ی نیم‌صفحه‌ها؛ نقاط برخورد خطوط مرزی، رأس‌های این ناحیه‌اند.

ویژگی‌ها

• جواب دستگاه یک‌متغیره‌ی نامعادلات خطی، یک بازه (ممکن است بی‌کران)، یک نقطه، یا تهی است، چون اشتراک بازه‌ها همیشه بازه است.
• ناحیه‌ی جواب دستگاه نامعادلات خطی دومتغیره همیشه محدب است: پاره‌خط بین هر دو نقطه‌ی آن، کاملاً درون ناحیه می‌ماند (چون هر نیم‌صفحه محدب است و اشتراک مجموعه‌های محدب، محدب است).
• اگر ناحیه‌ی جواب کران‌دار و ناتهی باشد، یک چندضلعی محدب است.
• (قضیه‌ی اساسی برنامه‌ریزی خطی) بیشینه یا کمینه‌ی یک عبارت خطی مثل \( px+qy \) روی یک ناحیه‌ی چندضلعیِ کران‌دار، در یکی از رأس‌ها رخ می‌دهد.

روش حل

دستگاه یک‌متغیره

1. هر نامعادله را جداگانه حل کنید.
2. جواب‌ها را روی یک محور مشترک نشان دهید.
3. بخشی را که همه‌ی جواب‌ها روی آن هم‌پوشانی دارند (اشتراک) بنویسید.

دستگاه دومتغیره‌ی خطی

1. برای هر نامعادله خط مرزی را رسم کنید (پیوسته یا خط‌چین).
2. با یک نقطه‌ی آزمون، نیم‌صفحه‌ی درست را مشخص و هاشور بزنید.
3. ناحیه‌ای که همه‌ی هاشورها در آن مشترک‌اند، جواب است.
4. در صورت نیاز، رأس‌ها را با حل دستگاه معادله‌ی خطوط مرزی دوبه‌دو پیدا کنید.

مثال‌های حل‌شده

مثال ۱: دستگاه یک‌متغیره‌ی خطی

دستگاه زیر را حل کنید:

$$ \begin{cases} 2x-1 > 3 \\ x+4 \leq 10 \end{cases} $$

از اولی \( x > 2 \) و از دومی \( x \leq 6 \). اشتراک: \( 2 < x \leq 6 \)، یعنی \( (2,6] \).

مثال ۲: دستگاه بدون جواب

دستگاه \( \{\, 3-x > 2,\;\; 2x \geq 6 \,\} \) را حل کنید.

اولی: \( x < 1 \)؛ دومی: \( x \geq 3 \). هیچ عددی هم‌زمان کوچک‌تر از ۱ و بزرگ‌تر یا مساوی ۳ نیست؛ جواب تهی است.

مثال ۳: ترکیب درجه دوم و قدرمطلق

دستگاه زیر را حل کنید:

$$ \begin{cases} x^2-4x < 0 \\ |x-3| \leq 2 \end{cases} $$

اولی: \( x(x-4) < 0 \Rightarrow 0 < x < 4 \). دومی: \( -2 \leq x-3 \leq 2 \Rightarrow 1 \leq x \leq 5 \). اشتراک: \( [1,4) \).

مثال ۴: ناحیه‌ی جواب در صفحه

ناحیه‌ی جواب دستگاه \( y \geq 2x-1 \) و \( x+y < 5 \) را مشخص کنید.

• خط \( y=2x-1 \) پیوسته رسم می‌شود. نقطه‌ی آزمون \( (0,0) \): \( 0 \geq -1 \) درست است، پس نیم‌صفحه‌ی شامل مبدأ (بالا و چپ خط) انتخاب می‌شود.
• خط \( x+y=5 \) خط‌چین رسم می‌شود. \( (0,0) \): \( 0 < 5 \) درست است، پس نیم‌صفحه‌ی زیر خط.
• دو خط در نقطه‌ی حاصل از حل \( 2x-1=5-x \)، یعنی \( (2,3) \)، یکدیگر را قطع می‌کنند.

ناحیه‌ی جواب یک گوه‌ی بی‌کران است که رأسش \( (2,3) \) است و به سمت چپ باز می‌شود. خودِ رأس \( (2,3) \) جزو جواب نیست، چون روی خط‌چین قرار دارد.

مثال ۵: مسئله‌ی مقدمه و بهینه‌سازی

ناحیه‌ی جواب دستگاه \( x \geq 0 \)، \( y \geq 0 \)، \( x+y \leq 4 \)، \( x+2y \leq 6 \) را پیدا کنید. اگر سود هر میز ۳ و هر صندلی ۴ واحد باشد، بیشترین سود چقدر است؟

با رسم دو خط مرزی \( x+y=4 \) و \( x+2y=6 \) در ربع اول و هاشور زدن طرف شامل مبدأ برای هر دو، ناحیه‌ی جواب یک چهارضلعی محدب در ربع اول به دست می‌آید که ضلع پایینش روی محور \( x \)، ضلع چپش روی محور \( y \) و دو ضلع دیگرش روی همین دو خط است.

رأس‌ها: \( (0,0) \)، \( (4,0) \) (برخورد \( x+y=4 \) با محور \( x \))، \( (0,3) \) (برخورد \( x+2y=6 \) با محور \( y \)) و برخورد دو خط:

$$ \begin{cases} x+y=4 \\ x+2y=6 \end{cases} \;\Rightarrow\; y=2,\; x=2 $$

مقدار سود \( 3x+4y \) در رأس‌ها:

بیشترین سود ۱۴ واحد است، با ساختن ۲ میز و ۲ صندلی.

کاربردها

• برنامه‌ریزی خطی: تولید، حمل‌ونقل، تخصیص منابع و رژیم غذایی با قیدهای خطی.
• دامنه‌ی توابع: دامنه‌ی \( \sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{5-x}} \) جواب دستگاه \( x-1 \geq 0 \) و \( 5-x > 0 \) است: \( [1,5) \).
• مسائل هندسی: توصیف درون یک مثلث یا چندضلعی محدب با چند نامعادله‌ی خطی.

اشتباهات رایج

• گرفتن اجتماع به‌جای اشتراک؛ در دستگاه همه‌ی شرط‌ها «و» هستند.
• رسم خط پیوسته برای نامساوی اکید یا خط‌چین برای نامساوی نااکید.
• انتخاب نقطه‌ی آزمون روی خود خط مرزی (مثلاً مبدأ وقتی خط از مبدأ می‌گذرد).
• جاانداختن قیدهای ضمنی مسئله مثل \( x \geq 0 \) برای تعداد.
• در مسائل بهینه‌سازی، بررسی نکردن همه‌ی رأس‌ها.

نکات مهم

• برای نامعادله‌ی \( y \geq mx+c \) نیم‌صفحه‌ی بالای خط و برای \( y \leq mx+c \) نیم‌صفحه‌ی پایین آن انتخاب می‌شود؛ این میان‌بر نقطه‌ی آزمون را لازم نمی‌کند.
• اگر جواب در مسئله‌ی کاربردی باید عدد صحیح باشد (مثل تعداد میز)، رأس بهینه ممکن است غیرصحیح باشد و نقاط صحیح اطراف آن باید بررسی شوند.
• نامعادله‌ی دوطرفه مثل \( -1 < 2x+3 \leq 7 \) در واقع یک دستگاه دوتایی است.

جمع‌بندی

جواب دستگاه نامعادلات، اشتراک جواب‌های تک‌تک نامعادله‌هاست. در یک متغیر این اشتراک روی محور اعداد خوانده می‌شود و در دو متغیر به‌صورت ناحیه‌ای محدب از صفحه که از هم‌پوشانی نیم‌صفحه‌ها ساخته می‌شود. رأس‌های این ناحیه، که از حل دستگاه معادله‌ی خطوط مرزی به دست می‌آیند، در مسائل بهینه‌سازی نقش کلیدی دارند.

موضوعات مرتبط

• نامعادلات در ریاضیات
• نامعادله خطی
• دستگاه دو معادله دو مجهول

منابع

• OpenStax، Intermediate Algebra 2e — 4.7 Graphing Systems of Linear Inequalities. رسم خطوط مرزی، نقطه‌ی آزمون، ناحیه‌ی هم‌پوشانی و مسائل کاربردی.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
• OpenStax، Intermediate Algebra 2e — 2.6 Solve Compound Inequalities. اشتراک جواب‌ها در نامعادلات مرکب با «و».
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
• OpenStax، College Algebra 2e — 7.3 Systems of Nonlinear Equations and Inequalities: Two Variables. ناحیه‌ی جواب دستگاه نامعادلات در صفحه.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵