مقدمه
یک کارخانه پیچ‌هایی با طول اسمی ۵۰ میلی‌متر می‌سازد و پیچی را قبول می‌کند که طولش حداکثر ۰٫۳ میلی‌متر با مقدار اسمی اختلاف داشته باشد. اگر طول پیچ \( L \) باشد، شرط قبولی \( |L-50| \leq 0.3 \) است، یعنی \( 49.7 \leq L \leq 50.3 \). این ترجمه‌ی «اختلاف» به «بازه» دقیقاً همان کاری است که در حل نامعادلات قدرمطلقی انجام می‌دهیم. وقتی قدرمطلق را به‌عنوان فاصله ببینیم، بیشتر این نامعادله‌ها تقریباً بدون محاسبه حل می‌شوند.
پیش‌نیازها
تعریف دقیق
تعریف رسمی: نامعادله‌ی قدرمطلقی نامعادله‌ای است که مجهول درون یک یا چند علامت قدرمطلق قرار دارد، مثل \( |2x-1| < 5 \) یا \( |x+1| \geq |x-3| \). یادآوری تعریف قدرمطلق:
$$ |u|=\begin{cases} u & u \geq 0 \\ -u & u < 0 \end{cases} $$
تعریف شهودی: \( |x-a| \) فاصله‌ی نقطه‌ی \( x \) تا نقطه‌ی \( a \) روی محور اعداد است. پس \( |x-a| < r \) مجموعه‌ی نقاطی است که از \( a \) کمتر از \( r \) واحد فاصله دارند — یک بازه به مرکز \( a \) و شعاع \( r \) — و \( |x-a| > r \) نقاطی که از \( a \) دورترند.
قضایا و ویژگی‌ها
دو قاعده‌ی اصلی
صورت: برای عبارت \( u \) و عدد \( a > 0 \):
$$ |u| < a \;\Longleftrightarrow\; -a < u < a $$
$$ |u| > a \;\Longleftrightarrow\; u < -a \;\;\text{یا}\;\; u > a $$
و همین‌طور برای \( \leq \) و \( \geq \) با کروشه به‌جای پرانتز. خلاصه‌ی به‌یادماندنی: «کوچک‌تر» یعنی «بین» (و)؛ «بزرگتر» یعنی «بیرون» (یا).
اثبات قاعده‌ی اول: اگر \( u \geq 0 \)، \( |u| < a \) یعنی \( 0 \leq u < a \). اگر \( u < 0 \)، \( |u| < a \) یعنی \( -u < a \) یا \( -a < u < 0 \). اجتماع این دو حالت دقیقاً \( -a < u < a \) است. قاعده‌ی دوم متمم قاعده‌ی \( |u| \leq a \) است.
حالت‌های خاص
چون \( |u| \geq 0 \) برای هر \( u \):
| نامعادله | \( a < 0 \) | \( a=0 \) |
|---|
| \( |u| < a \) | جواب ندارد | جواب ندارد |
| \( |u| \leq a \) | جواب ندارد | فقط \( u=0 \) |
| \( |u| > a \) | همه‌ی اعداد (در دامنه) | همه به‌جز \( u=0 \) |
| \( |u| \geq a \) | همه‌ی اعداد | همه‌ی اعداد |
مقایسه‌ی دو قدرمطلق
چون دو طرف نامنفی‌اند، می‌توان آنها را به توان دو رساند بدون این‌که جهت عوض شود:
$$ |A| < |B| \;\Longleftrightarrow\; A^2 < B^2 \;\Longleftrightarrow\; (A-B)(A+B) < 0 $$
روش گام‌به‌گام حل
- قدرمطلق را در یک طرف ایزوله کنید (مثلاً \( 3|x-2|+4 \leq 10 \) را به \( |x-2| \leq 2 \) برسانید).
- علامت طرف دیگر را بررسی کنید؛ اگر منفی یا صفر است از جدول حالت‌های خاص استفاده کنید.
- طبق قاعده‌ی «بین» یا «بیرون»، نامعادله را بدون قدرمطلق بنویسید.
- نامعادله(های) خطی حاصل را حل کنید و جواب را با بازه بنویسید.
- اگر چند قدرمطلق یا مجهول در دو طرف دارید، از تفکیک بازه‌ای (روی نقاط صفرشدن هر قدرمطلق) یا مربع کردن استفاده کنید.
مثال‌های حل‌شده
مثال ۱: «کوچک‌تر» — یک بازه
نامعادله‌ی \( |x-3| < 5 \) را حل کنید.
$$ -5 < x-3 < 5 \;\Rightarrow\; -2 < x < 8 $$
به زبان فاصله: نقاطی که فاصله‌شان تا ۳ کمتر از ۵ است. جواب: \( (-2,8) \).
مثال ۲: «بزرگتر» — دو نیم‌خط
نامعادله‌ی \( |2x+1| \geq 7 \) را حل کنید.
$$ 2x+1 \leq -7 \;\Rightarrow\; x \leq -4 \qquad \text{یا} \qquad 2x+1 \geq 7 \;\Rightarrow\; x \geq 3 $$
جواب: \( (-\infty,-4] \cup [3,+\infty) \).
مثال ۳: ایزوله کردن و حالت خاص
الف) \( 3|x-2|+4 \leq 10 \): ابتدا \( |x-2| \leq 2 \)، پس \( 0 \leq x \leq 4 \).
ب) \( |x+1|+5 > 3 \): ایزوله: \( |x+1| > -2 \). قدرمطلق همیشه از عدد منفی بزرگتر است، پس همه‌ی اعداد حقیقی جوابند. در مقابل \( |x+1|+5 < 3 \) هیچ جوابی ندارد.
مثال ۴: نامعادله‌ی دوطرفه
نامعادله‌ی \( 1 \leq |x-2| < 3 \) را حل کنید.
این یعنی دو شرط هم‌زمان: \( |x-2| < 3 \Rightarrow -1 < x < 5 \) و \( |x-2| \geq 1 \Rightarrow x \leq 1 \) یا \( x \geq 3 \). اشتراک:
$$ (-1,1] \cup [3,5) $$
تصویر هندسی: نقاطی که فاصله‌شان تا ۲ حداقل ۱ و کمتر از ۳ است — دو «حلقه»ی کوچک در دو طرف ۲.
مثال ۵: مجهول در دو طرف
نامعادله‌ی \( |x-1| < 2x-5 \) را حل کنید.
قاعده‌ی \( |u| < v \Leftrightarrow -v < u < v \) برای هر عبارت \( v \) برقرار است (اگر \( v \leq 0 \) شود، هر دو طرف خودبه‌خود ناسازگار می‌شوند):
$$ -(2x-5) < x-1 \;\Rightarrow\; 6 < 3x \;\Rightarrow\; x > 2 $$
$$ x-1 < 2x-5 \;\Rightarrow\; x > 4 $$
اشتراک: \( x > 4 \). بررسی: \( x=5 \): \( 4 < 5 \) ✓؛ \( x=3 \): \( 2 < 1 \) ✗.
مثال ۶ (دشوارتر): دو قدرمطلق
نامعادله‌ی \( |x-1|+|x+2| \leq 5 \) را حل کنید.
روش تفکیک بازه: نقاط صفرشدن \( -2 \) و \( 1 \) محور را به سه بخش تقسیم می‌کنند:
- \( x < -2 \): \( (1-x)+(-x-2) \leq 5 \Rightarrow -2x-1 \leq 5 \Rightarrow x \geq -3 \)؛ پس \( -3 \leq x < -2 \).
- \( -2 \leq x < 1 \): \( (1-x)+(x+2)=3 \leq 5 \) همیشه درست؛ پس کل این بخش.
- \( x \geq 1 \): \( (x-1)+(x+2) \leq 5 \Rightarrow 2x+1 \leq 5 \Rightarrow x \leq 2 \)؛ پس \( 1 \leq x \leq 2 \).
اجتماع: \( [-3,2] \). تعبیر هندسی: مجموع فاصله‌های \( x \) از ۱ و \( -2 \) حداکثر ۵ است. بین دو نقطه این مجموع همیشه ۳ است و بیرون آنها با هر واحد دورشدن ۲ واحد اضافه می‌شود؛ پس حداکثر یک واحد می‌توان از هر طرف بیرون رفت.
مثال ۷: مقایسه‌ی دو قدرمطلق با مربع کردن
نامعادله‌ی \( |x+1| \geq |x-3| \) را حل کنید.
$$ (x+1)^2 \geq (x-3)^2 \;\Rightarrow\; 2x+1 \geq -6x+9 \;\Rightarrow\; 8x \geq 8 \;\Rightarrow\; x \geq 1 $$
به زبان فاصله: نقاطی که فاصله‌شان تا \( -1 \) بیشتر از فاصله‌شان تا ۳ است یا با آن برابر است، یعنی از وسط این دو نقطه (عدد ۱) به راست.
کاربردها
- تلرانس صنعتی: مثل پیچ مقدمه؛ هر شرط «حداکثر انحراف» یک نامعادله‌ی \( |x-x_0| \leq \varepsilon \) است.
- آمار: بازه‌ی اطمینان «میانگین \( \pm \) حاشیه‌ی خطا» همان \( |\mu-\bar{x}| \leq E \) است.
- حسابان: تعریف دقیق حد با \( |x-a| < \delta \) و \( |f(x)-L| < \varepsilon \) بیان می‌شود.
- دماسنج و کنترل: ترموستاتی که دما را در محدوده‌ی ۲۲ ± ۱ درجه نگه می‌دارد.
اشتباهات رایج
- نوشتن \( |x| > 3 \) به شکل \( -3 > x > 3 \)؛ این شرط برای هیچ عددی برقرار نیست. درست: \( x < -3 \) یا \( x > 3 \).
- استفاده از قاعده‌ی «بین» برای \( |u| > a \) و برعکس.
- تفکیک حالت پیش از ایزوله کردن قدرمطلق.
- نادیده گرفتن منفی بودن طرف راست و حل مکانیکی \( |x-1| < -2 \).
- در تفکیک بازه‌ای، فراموش کردن اشتراک‌گرفتن جواب هر حالت با بازه‌ی همان حالت.
نکات مهم
- \( |x-a| < r \) همیشه بازه‌ای به مرکز \( a \) و طول \( 2r \) است: \( (a-r,a+r) \). برعکس، هر بازه‌ی \( (p,q) \) را می‌توان به شکل \( \left|x-\frac{p+q}{2}\right| < \frac{q-p}{2} \) نوشت.
- برای مقایسه‌ی دو قدرمطلق، مربع کردن سریع‌ترین راه است چون هر دو طرف نامنفی‌اند.
- با بیش از یک قدرمطلق، تفکیک بازه‌ای روی نقاط صفرشدن روش مطمئن است.
جمع‌بندی
نامعادله‌ی قدرمطلقی با دو قاعده حل می‌شود: \( |u| < a \) یعنی \( u \) بین \( -a \) و \( a \)، و \( |u| > a \) یعنی \( u \) بیرون این بازه. پیش از به‌کار بردن آنها قدرمطلق را ایزوله کنید و علامت طرف دیگر را بسنجید. برای مسائل پیچیده‌تر، تفکیک بازه‌ای یا مربع کردن، و برای شهود، تعبیر قدرمطلق به‌عنوان فاصله بهترین ابزارها هستند.
موضوعات مرتبط
منابع
- OpenStax، Intermediate Algebra 2e — 2.7 Solve Absolute Value Inequalities. قاعده‌های \( |u| < a \) و \( |u| > a \) و تبدیل آنها به نامعادلات مرکب.
مشاهده منبع
تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
- OpenStax، College Algebra 2e — 2.7 Linear Inequalities and Absolute Value Inequalities. تعبیر قدرمطلق به‌عنوان فاصله و حل نامعادلات قدرمطلقی.
مشاهده منبع
تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
نامعادلات قدرمطلقی؛ قاعده‌ی کوچک‌تر و بزرگتر، تعبیر فاصله و مثال‌های حل‌شده — https://www.rayeshmand.ir/article/absolute-value-inequalities