مقدمه

پس از نامعادله‌ی درجه دوم، طبیعی است بپرسیم: اگر درجه سه، چهار یا بیشتر باشد چه؟ دیگر فرمول آماده‌ای مثل «بیرون ریشه‌ها موافق» نداریم، اما ایده‌ی پشت آن فرمول هنوز کار می‌کند: یک چندجمله‌ای فقط در ریشه‌هایش می‌تواند علامت عوض کند. اگر ریشه‌ها را بدانیم، کل محور اعداد به چند بازه تقسیم می‌شود که در هرکدام علامت چندجمله‌ای ثابت است — و حل نامعادله به خواندن یک جدول تبدیل می‌شود.

پیش‌نیازها

• تجزیه چندجمله‌ای و پیدا کردن ریشه‌ها (از جمله با قضیه ریشه‌های گویا)
• تعیین علامت عبارت‌های درجه اول و نامعادله درجه دوم
• نوشتن جواب با بازه و اجتماع بازه‌ها

تعریف دقیق

تعریف رسمی: نامعادله‌ی چندجمله‌ای نامعادله‌ای است که بتوان آن را به شکل \( P(x) > 0 \)، \( P(x) \geq 0 \)، \( P(x) < 0 \) یا \( P(x) \leq 0 \) نوشت، که در آن \( P(x) \) یک چندجمله‌ای است. معمولاً وقتی درجه‌ی \( P \) سه یا بیشتر است از این نام استفاده می‌شود.

تعریف شهودی: نمودار یک چندجمله‌ای منحنی پیوسته‌ای است که بدون پرش از یک طرف محور \( x \) به طرف دیگر نمی‌رود مگر با عبور از محور. پس نقاط برخورد با محور (ریشه‌ها) مرزهای جواب‌اند.

مفاهیم اصلی

• نقاط بحرانی: ریشه‌های حقیقی \( P(x)=0 \) که محور را به بازه‌های آزمون تقسیم می‌کنند.
• تکرار (مرتبه‌ی) ریشه: اگر \( (x-r)^k \) عاملی از \( P \) باشد و \( (x-r)^{k+1} \) نباشد، \( r \) ریشه‌ای با تکرار \( k \) است.
• عامل همیشه مثبت: عاملی مثل \( x^2+1 \) یا \( x^2+x+1 \) (با ممیز منفی و ضریب پیشروی مثبت) که هیچ‌گاه علامت عوض نمی‌کند و می‌توان آن را از جدول حذف کرد.
• جدول تعیین علامت: جدولی که برای هر عامل و برای حاصل‌ضرب، علامت را در هر بازه نشان می‌دهد.

قضایا و ویژگی‌ها

قاعده‌ی تغییر علامت در ریشه‌ها

صورت: فرض کنید \( r \) ریشه‌ای از \( P(x) \) با تکرار \( k \) باشد. اگر \( k \) فرد باشد، علامت \( P(x) \) با عبور از \( r \) عوض می‌شود؛ اگر \( k \) زوج باشد، علامت عوض نمی‌شود.

ایده‌ی اثبات: می‌نویسیم \( P(x)=(x-r)^k Q(x) \) که در آن \( Q(r) \neq 0 \). نزدیک \( r \)، عامل \( Q(x) \) علامت ثابتی دارد (هم‌علامت \( Q(r) \)). عامل \( (x-r)^k \) برای \( k \) زوج در دو طرف \( r \) مثبت است و برای \( k \) فرد در چپ \( r \) منفی و در راست آن مثبت. پس فقط تکرار فرد، علامت حاصل‌ضرب را عوض می‌کند.

علامت در دورترین بازه‌ی سمت راست

برای \( x \)های بسیار بزرگ، علامت \( P(x) \) همان علامت ضریب پیشرو است، چون جمله‌ی با بیشترین درجه بر بقیه غلبه می‌کند. بنابراین جدول را می‌توان از سمت راست با علامت ضریب پیشرو شروع کرد و به سمت چپ حرکت کرد: در هر ریشه‌ی با تکرار فرد علامت عوض می‌شود و در ریشه‌ی با تکرار زوج ثابت می‌ماند.

روش گام‌به‌گام حل

1. همه‌ی جمله‌ها را به یک طرف ببرید تا طرف دیگر صفر شود.
2. چندجمله‌ای را تا جای ممکن تجزیه کنید (فاکتورگیری، اتحادها، قضیه‌ی ریشه‌های گویا).
3. عامل‌های همیشه مثبت را کنار بگذارید (و اگر عاملی همیشه منفی بود، با حذفش جهت نامساوی را برعکس کنید).
4. ریشه‌های حقیقی را به ترتیب روی محور بنویسید و تکرار هرکدام را مشخص کنید.
5. جدول را از راست با علامت ضریب پیشرو شروع کنید و طبق قاعده‌ی تکرار فرد/زوج کامل کنید (یا از هر بازه یک عدد امتحان کنید).
6. بازه‌های مطلوب را انتخاب کنید؛ در نامساوی نااکید، ریشه‌ها جزو جواب‌اند.

مثال‌های حل‌شده

مثال ۱: سه ریشه‌ی ساده

نامعادله‌ی \( (x+2)(x-1)(x-4) > 0 \) را حل کنید.

ریشه‌ها \( -2 \)، \( 1 \) و \( 4 \) همه ساده‌اند (تکرار ۱). ضریب پیشرو \( +1 \) است، پس در راست‌ترین بازه علامت \( + \) است و با عبور از هر ریشه عوض می‌شود:

جواب: \( (-2,1) \cup (4,+\infty) \).

مثال ۲: فاکتورگیری و اتحاد مزدوج

نامعادله‌ی \( x^3 \leq 4x \) را حل کنید.

$$ x^3-4x \leq 0 \;\Rightarrow\; x(x-2)(x+2) \leq 0 $$

ریشه‌ها \( -2 \)، \( 0 \)، \( 2 \)؛ از راست: \( + \)، بین ۰ و ۲: \( - \)، بین \( -2 \) و ۰: \( + \)، چپ \( -2 \): \( - \). جواب (با احتساب ریشه‌ها): \( (-\infty,-2] \cup [0,2] \).

توجه کنید که تقسیم دو طرف \( x^3 \leq 4x \) بر \( x \) و نوشتن \( x^2 \leq 4 \) غلط بود و بخشی از جواب را از دست می‌داد.

مثال ۳: ریشه‌ی با تکرار زوج

نامعادله‌ی \( (x-1)^2(x+3) \geq 0 \) را حل کنید.

ریشه‌ی \( -3 \) ساده و ریشه‌ی \( 1 \) با تکرار ۲ است. از راست: \( + \)؛ با عبور از ۱ علامت عوض نمی‌شود، پس بین \( -3 \) و ۱ هم \( + \)؛ با عبور از \( -3 \) عوض می‌شود و چپ آن \( - \). جواب: \( [-3,+\infty) \).

اگر نامعادله \( (x-1)^2(x+3) > 0 \) بود، ریشه‌ها کنار می‌رفتند: \( (-3,1) \cup (1,+\infty) \). و برای \( (x-1)^2(x+3) \leq 0 \) جواب \( (-\infty,-3] \cup \{1\} \) است — نقطه‌ی تنهای ۱ را نباید فراموش کرد.

مثال ۴: نامعادله‌ی دومجذوری

نامعادله‌ی \( x^4-5x^2+4 < 0 \) را حل کنید.

$$ x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) $$

ریشه‌ها \( -2,-1,1,2 \) همه ساده. از راست: \( +,-,+,-,+ \). منفی‌ها در \( (-2,-1) \) و \( (1,2) \). جواب: \( (-2,-1) \cup (1,2) \).

مثال ۵: پیدا کردن ریشه با قضیه‌ی ریشه‌های گویا

نامعادله‌ی \( x^3-2x^2-5x+6 \geq 0 \) را حل کنید.

امتحان مقسوم‌علیه‌های ۶: \( P(1)=1-2-5+6=0 \). با تقسیم بر \( x-1 \):

$$ x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2) $$

ریشه‌ها \( -2,1,3 \)؛ از راست: \( +,-,+,- \). جواب: \( [-2,1] \cup [3,+\infty) \).

مثال ۶: عامل همیشه مثبت

نامعادله‌ی \( (x^2+x+1)(2-x) < 0 \) را حل کنید.

عامل \( x^2+x+1 \) ممیز \( 1-4=-3 < 0 \) و ضریب پیشروی مثبت دارد، پس همیشه مثبت است و علامت حاصل‌ضرب را تغییر نمی‌دهد. کافی است \( 2-x < 0 \)، یعنی \( x > 2 \).

کاربردها

• دامنه‌ی توابع رادیکالی: دامنه‌ی \( \sqrt{x^3-4x} \) جواب \( x^3-4x \geq 0 \) است: \( [-2,0] \cup [2,+\infty) \).
• حجم و طراحی: جعبه‌ای که از بریدن مربع‌هایی به ضلع \( x \) از گوشه‌های یک ورق ساخته می‌شود حجمی درجه سه دارد؛ شرط «حجم بیشتر از مقدار معین» یک نامعادله‌ی درجه سه است.
• حسابان: تعیین بازه‌های صعودی یک تابع درجه چهار یعنی حل نامعادله‌ی درجه سه \( f'(x) > 0 \).

اشتباهات رایج

• تقسیم دو طرف بر عبارتی شامل \( x \) (مثل \( x \) یا \( x^2-1 \)) بدون دانستن علامتش.
• تغییر علامت در ریشه‌ی با تکرار زوج، به‌صورت خودکار و بدون توجه به توان.
• جاانداختن نقطه‌ی تنها (ریشه‌ی زوج) در جواب نامعادله‌ی نااکید.
• شروع جدول با علامت \( + \) وقتی ضریب پیشرو منفی است (مثلاً در \( (2-x)(x+1)(x+3) \)).
• نادیده‌گرفتن یک عامل منفی ثابت: \( -(x^2+1) \) همیشه منفی است و حذفش جهت را برعکس می‌کند.

نکات مهم

• جدول را همیشه بعد از نوشتن نامعادله به شکل «چندجمله‌ای در مقایسه با صفر» بسازید.
• بهتر است عامل‌ها را به شکل \( (x-r) \) با ضریب مثبت \( x \) بنویسید؛ مثلاً \( 2-x=-(x-2) \) و منفی را جدا حساب کنید.
• اگر در درستی جدول تردید دارید، یک عدد ساده از یک بازه (مثل \( x=0 \)) را در چندجمله‌ای اصلی بگذارید.
• تعداد تغییر علامت‌ها برابر تعداد ریشه‌های حقیقیِ با تکرار فرد است.

جمع‌بندی

نامعادله‌ی چندجمله‌ای با سه کار حل می‌شود: صفر کردن یک طرف، تجزیه، و تعیین علامت. علامت فقط در ریشه‌های با تکرار فرد عوض می‌شود، در راست‌ترین بازه همان علامت ضریب پیشرو است و عامل‌های بی‌ریشه‌ی همیشه مثبت را می‌توان کنار گذاشت. با این سه نکته هر نامعادله‌ی چندجمله‌ای قابل تجزیه با یک جدول ساده حل می‌شود.

موضوعات مرتبط

• نامعادلات در ریاضیات
• نامعادله درجه دوم
• نامعادلات گویا

منابع

• Mathematics LibreTexts، Polynomial and Rational Inequalities. روش نقاط بحرانی، آزمون یک عدد در هر ناحیه و نمایش نتیجه در نمودار علامت.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
• Mathematics LibreTexts، Solving Polynomial and Rational Inequalities (Advanced Algebra). حل نامعادلات چندجمله‌ای با تجزیه و جدول علامت.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
• OpenStax، Precalculus 2e — 3.6 Zeros of Polynomial Functions. قضیه‌ی ریشه‌های گویا و تجزیه‌ی چندجمله‌ای به عامل‌های خطی.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵