مقدمه

نامعادله‌ی \( \frac{2x-1}{x+3} < 1 \) را در نظر بگیرید. وسوسه‌انگیز است که دو طرف را در \( x+3 \) ضرب کنیم و به \( 2x-1 < x+3 \)، یعنی \( x < 4 \)، برسیم. ولی \( x=-5 \) را امتحان کنید: \( \frac{-11}{-2}=5.5 \) که از ۱ کوچک‌تر نیست! مشکل این‌جاست که برای \( x < -3 \) مخرج منفی است و ضرب در آن باید جهت را برعکس می‌کرد. این مثال کوچک نشان می‌دهد چرا نامعادلات گویا روش خودشان را دارند — روشی که در این مقاله گام‌به‌گام می‌بینیم.

پیش‌نیازها

• حل معادلات گویا و یافتن مخرج مشترک
• جدول تعیین علامت در نامعادلات چندجمله‌ای
• تجزیه عبارت‌های جبری

تعریف دقیق

تعریف رسمی: نامعادله‌ی گویا نامعادله‌ای است که پس از ساده‌سازی بتوان آن را به شکل

$$ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \quad (\text{یا } \geq 0,\ < 0,\ \leq 0) $$

نوشت، که \( P \) و \( Q \) چندجمله‌ای‌اند و \( Q \) ثابت نیست. مجموعه جواب فقط از اعدادی تشکیل می‌شود که \( Q(x) \neq 0 \).

تعریف شهودی: علامت یک کسر فقط به علامت صورت و مخرجش بستگی دارد: اگر هم‌علامت باشند کسر مثبت است و اگر مختلف‌العلامه باشند منفی. پس کسر فقط وقتی می‌تواند تغییر علامت دهد که صورت یا مخرج تغییر علامت دهد — یعنی در ریشه‌های صورت یا مخرج.

مفاهیم اصلی

• نقاط بحرانی: ریشه‌های صورت (جایی که کسر صفر می‌شود) و ریشه‌های مخرج (جایی که کسر تعریف نشده است).
• کسر و حاصل‌ضرب هم‌علامت‌اند: \( \frac{P}{Q} \) و \( P \cdot Q \) همیشه علامت یکسانی دارند (چون \( \frac{P}{Q}=\frac{PQ}{Q^2} \) و \( Q^2 > 0 \)). به همین دلیل جدول تعیین علامت یک کسر دقیقاً مثل جدول یک حاصل‌ضرب ساخته می‌شود.
• ریشه‌ی مخرج هرگز جزو جواب نیست، حتی در نامعادله‌ی نااکید.

قضایا و ویژگی‌ها

هم‌ارزی کسر و حاصل‌ضرب

صورت: برای هر \( x \) که \( Q(x) \neq 0 \):

$$ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \;\Longleftrightarrow\; P(x)\,Q(x) > 0 $$

و \( \frac{P}{Q} \geq 0 \) معادل است با \( PQ \geq 0 \) به‌همراه شرط \( Q \neq 0 \).

اثبات: چون \( Q(x)^2 > 0 \)، ضرب دو طرف \( \frac{P}{Q} > 0 \) در آن جهت را حفظ می‌کند و \( \frac{P}{Q} \cdot Q^2=PQ \).

این هم‌ارزی توضیح می‌دهد که چرا ضرب در \( Q^2 \) (که همیشه مثبت است) مجاز است ولی ضرب در \( Q \) نه.

روش گام‌به‌گام حل

1. همه‌ی جمله‌ها را به یک طرف ببرید تا طرف دیگر صفر شود. طرفین را در مخرج ضرب نکنید.
2. با مخرج مشترک، عبارت را به یک کسر واحد \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) تبدیل کنید.
3. صورت و مخرج را تجزیه کنید. اگر عامل مشترکی هست، آن را ساده کنید اما ریشه‌اش را به‌عنوان «نقطه‌ی ممنوع» به خاطر بسپارید.
4. ریشه‌های صورت و مخرج را روی محور مرتب کنید و جدول تعیین علامت را بسازید.
5. بازه‌های مطلوب را انتخاب کنید. در نامساوی نااکید ریشه‌های صورت را بیاورید و ریشه‌های مخرج را همیشه حذف کنید.

مثال‌های حل‌شده

مثال ۱: کسر ساده

نامعادله‌ی \( \frac{x+1}{x-2} \geq 0 \) را حل کنید.

ریشه‌ی صورت: \( -1 \)؛ ریشه‌ی مخرج: \( 2 \).

\( x \)		\( -1 \)		\( 2 \)
\( x+1 \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)		\( + \)
\( x-2 \)	\( - \)		\( - \)	\( 0 \)	\( + \)
کسر	\( + \)	\( 0 \)	\( - \)	تعریف‌نشده	\( + \)

جواب: \( (-\infty,-1] \cup (2,+\infty) \). نقطه‌ی \( -1 \) با کروشه (کسر صفر می‌شود) و نقطه‌ی ۲ با پرانتز.

مثال ۲: حل درست مثال مقدمه

نامعادله‌ی \( \frac{2x-1}{x+3} < 1 \) را حل کنید.

$$ \frac{2x-1}{x+3}-1 < 0 \;\Rightarrow\; \frac{2x-1-(x+3)}{x+3} < 0 \;\Rightarrow\; \frac{x-4}{x+3} < 0 $$

ریشه‌ها \( -3 \) و \( 4 \)؛ کسر بین آن‌ها منفی است. جواب: \( -3 < x < 4 \). جواب «غلط» \( x < 4 \) بازه‌ی \( (-\infty,-3] \) را اضافه داشت.

مثال ۳: مقایسه‌ی کسر با خود مجهول

نامعادله‌ی \( \frac{1}{x} > x \) را حل کنید.

$$ \frac{1}{x}-x > 0 \;\Rightarrow\; \frac{1-x^2}{x} > 0 \;\Rightarrow\; \frac{(x-1)(x+1)}{x} < 0 $$

(در گام آخر صورت را در \( -1 \) ضرب کردیم و جهت برعکس شد.) ریشه‌ها \( -1 \)، \( 0 \)، \( 1 \)؛ از راست علامت‌ها \( +,-,+,- \). منفی در \( (-\infty,-1) \) و \( (0,1) \). بررسی: برای \( x=\frac{1}{2} \)، \( 2 > \frac{1}{2} \) ✓؛ برای \( x=-2 \)، \( -\frac{1}{2} > -2 \) ✓.

جواب: \( (-\infty,-1) \cup (0,1) \).

مثال ۴: ریشه‌ی تکراری در صورت

نامعادله‌ی \( \frac{(x-3)^2}{x+2} \leq 0 \) را حل کنید.

صورت همیشه نامنفی است و فقط در \( x=3 \) صفر می‌شود. پس کسر یا صفر است (\( x=3 \)) یا هم‌علامت مخرج. کسر نامثبت است اگر \( x+2 < 0 \) یا \( x=3 \). جواب: \( (-\infty,-2) \cup \{3\} \).

مثال ۵: عامل مشترک صورت و مخرج

نامعادله‌ی \( \frac{x^2-1}{x^2+x-2} \geq 0 \) را حل کنید.

$$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)} \geq 0 $$

برای \( x \neq 1 \) کسر برابر \( \frac{x+1}{x+2} \) است، اما \( x=1 \) چون مخرج اصلی را صفر می‌کند، ممنوع است. \( \frac{x+1}{x+2} \geq 0 \) جواب \( (-\infty,-2) \cup [-1,+\infty) \) دارد. با حذف \( x=1 \):

$$ (-\infty,-2) \cup [-1,1) \cup (1,+\infty) $$

مثال ۶ (دشوارتر): دو کسر در دو طرف

نامعادله‌ی \( \frac{3}{x-1} \leq \frac{2}{x+1} \) را حل کنید.

$$ \frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+1} \leq 0 \;\Rightarrow\; \frac{3(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} \leq 0 \;\Rightarrow\; \frac{x+5}{(x-1)(x+1)} \leq 0 $$

نقاط بحرانی \( -5 \) (صورت)، \( -1 \) و \( 1 \) (مخرج). از راست علامت‌ها \( +,-,+,- \): منفی در \( (-\infty,-5) \) و \( (-1,1) \). با افزودن ریشه‌ی صورت:

$$ (-\infty,-5] \cup (-1,1) $$

بررسی با \( x=0 \): \( -3 \leq 2 \) ✓؛ با \( x=2 \): \( 3 \leq \frac{2}{3} \) ✗ (و ۲ هم جزو جواب نیست) ✓.

کاربردها

• میانگین هزینه: اگر هزینه‌ی کل تولید \( x \) واحد \( C(x)=5000+20x \) باشد، شرط «هزینه‌ی هر واحد کمتر از ۳۰» نامعادله‌ی گویای \( \frac{5000+20x}{x} < 30 \) است که برای \( x > 0 \) به \( x > 500 \) می‌رسد.
• غلظت محلول: افزودن \( x \) لیتر حلال به محلول، غلظتی به شکل \( \frac{a}{b+x} \) می‌دهد و شرط «غلظت کمتر از حد مجاز» یک نامعادله‌ی گویاست.
• دامنه‌ی توابع: دامنه‌ی \( \sqrt{\frac{x+1}{x-2}} \) همان جواب مثال ۱ است.

اشتباهات رایج

• ضرب طرفین در مخرج بدون دانستن علامت آن (خطای مقدمه).
• قرار دادن ریشه‌ی مخرج در جواب نامعادله‌ی \( \geq \) یا \( \leq \).
• ساده‌کردن عامل مشترک صورت و مخرج و فراموش کردن حذف ریشه‌ی آن از جواب.
• «طرفین وسطین» در نامعادله: \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \) در حالت کلی معادل \( ad < bc \) نیست.
• تبدیل \( \frac{1}{x} < 2 \) به \( x > \frac{1}{2} \)؛ برای همه‌ی \( x \) منفی هم نامعادله برقرار است.

نکات مهم

• همیشه با «صفر در یک طرف» شروع کنید؛ این مهم‌ترین گام است.
• اگر علامت مخرج از قبل معلوم باشد (مثلاً \( x^2+1 \) یا شرط \( x > 0 \) در مسئله)، ضرب در آن مجاز است.
• در جدول، کنار ریشه‌های مخرج به‌جای صفر علامت «تعریف‌نشده» یا دو خط عمودی بگذارید تا در انتخاب جواب اشتباه نکنید.

جمع‌بندی

کلید نامعادلات گویا این است که هرگز طرفین را در مخرجی با علامت نامعلوم ضرب نکنیم. به‌جای آن همه‌چیز را به یک طرف می‌بریم، یک کسر می‌سازیم و علامت آن را با ریشه‌های صورت و مخرج در یک جدول تعیین می‌کنیم. ریشه‌های صورت بسته به نوع نامساوی ممکن است جزو جواب باشند، اما ریشه‌های مخرج هرگز.

موضوعات مرتبط

• نامعادلات در ریاضیات
• نامعادلات چندجمله‌ای
• معادلات گویا

منابع

• Mathematics LibreTexts، Polynomial and Rational Inequalities. نقش مجانب‌های قائم و ریشه‌های مخرج به‌عنوان نقاط بحرانی که هرگز در مجموعه جواب نیستند.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
• Mathematics LibreTexts، Solving Polynomial and Rational Inequalities (Advanced Algebra). روش یک‌طرفه‌کردن، ساختن کسر واحد و جدول علامت.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵