در این قسمت و در راستای انتشار فرمول های ریاضی در رایشمند، فرمول های مربوط به مجموعه ها، شامل اجتماع، اشتراک، متمم، قانون دمورگان و ترکیبی از اعمال موجود در مجموعه ها را قرار می دهیم

تعاریف

مجموعه تهی: 

مجموعه مرجع (مجموعه جهانی): \(I\)

اجتماع دو مجموعه:

\(A \cup B = \left\{x : x \in A ~~ or ~~ x \in B \right\}\)

اشتراک دو مجموعه: 

\(A \cap B = \left\{x : x \in A ~~ and ~~ x \in B \right\}\)

متمم:

\(A' = \left\{ x \in I : x \not \in A \right\}\)

اختلاف مجموعه ها:

\(A \setminus B = \left\{x : x \in A ~~ and ~~ x \not \in B \right\}\)

ضرب دکارتی:

\(A \times B = \left\{ (x,y) : x \in A ~~ and ~~ y \in B \right\}\)

خواص اشتراک مجموعه ها:

جابجایی:

\(A \cup B = B \cup A\)

شرکت پذیری: 

\(A \cup \left(B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C\)

خودتوانی:

\(A \cup A = A\)

خواص اشتراک مجموعه ها

جابجایی:

\(A \cap B = B \cap A\)

جابجایی:

\(A \cap \left(B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C\)

خودتوانی:

\(A \cap A = A\)

خواص مجموعه ها، در اجتماع و اشتراک

توزیع پذیری: 

\(A \cup \left(B \cap C \right) = \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)\)

\(A \cap \left(B \cup C \right) = \left(A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)\)

تسلط:

\(A \cap \varnothing = \varnothing\)

\(A \cup I = I\)

همانی:

\(A \cup \varnothing = A\)

\(A \cap I = A\)

فرمول های مجموعه ها شامل روابط اجتماع، اشتراک و متمم

متمم در اجتماع و اش راک

\(A \cup A' = I\)

\(A \cap A' = \varnothing\)

قوانین دمورگان:

\(\left( A \cup B \right)' = A' \cap B~'\)

\(\left(A \cap B \right)' = A' \cup B~'\)

فرمول مجموعه های شامل کسر

\(B \setminus A = B \setminus \left( A \cup B \right)\)

\(B \setminus A = B \cap A'\)

\(A \setminus A = \varnothing\)

\(\left(A \setminus B \right) \cap C = \left(A \cap C \right) \setminus \left(B \cap C \right)\)

\(A' = I \setminus A\)

اگر به نظرتان فرمولی از قلم افتاده، به رایشمند یادآوری نمایید

این مقاله در تاریخ 95/02/13 به دلیل رفع ایرادی که در قسمت نظرات اشاره شده بود به‌روز‌رسانی شد