مقدمه

عبارت «نمره‌ی قبولی حداقل ۱۰ است» را اگر به زبان ریاضی بنویسیم، \( x \geq 10 \) می‌شود؛ یک نامساوی ساده. حالا اگر نمره‌ی نهایی از دو بخش ساخته شود — مثلاً ۴۰ درصد میان‌ترم که ۸ گرفته‌اید و ۶۰ درصد پایان‌ترم — پرسش «در پایان‌ترم حداقل چند بگیرم؟» به نامساوی \( 0.4(8)+0.6x \geq 10 \) می‌رسد. این همان چیزی است که نامعادله‌ی خطی نامیده می‌شود و حلش، چنان‌که خواهیم دید، تنها چند گام با حل یک معادله‌ی خطی فاصله دارد.

پیش‌نیازها

• حل معادله خطی و جابه‌جایی جمله‌ها بین دو طرف
• آشنایی با بازه‌ها و نمادهای \( (\,) \) و \( [\,] \)
• ترتیب اعداد حقیقی روی محور

تعریف دقیق

تعریف رسمی: نامعادله‌ی خطی با یک مجهول، نامساوی‌ای است که بتوان آن را به یکی از شکل‌های زیر نوشت:

$$ ax+b < 0,\qquad ax+b \leq 0,\qquad ax+b > 0,\qquad ax+b \geq 0 $$

که در آن \( a \) و \( b \) اعداد حقیقی‌اند و \( a \neq 0 \). مجموعه جواب آن، مجموعه‌ی همه‌ی اعداد حقیقی \( x \) است که نامساوی را درست می‌کنند.

تعریف شهودی: نمودار \( y=ax+b \) یک خط است. حل \( ax+b > 0 \) یعنی پیدا کردن قسمتی از محور \( x \) که خط در آن بالای محور است. چون خط فقط یک‌بار محور را قطع می‌کند، جواب همیشه یک نیم‌خط است: یک طرفِ نقطه‌ی \( x=-\frac{b}{a} \).

مفاهیم اصلی

• نامعادله‌های هم‌ارز: دو نامعادله که مجموعه جواب یکسان دارند. هر گام حل باید نامعادله را به یک نامعادله‌ی هم‌ارز ساده‌تر تبدیل کند.
• نامساوی اکید و نااکید: در \( < \) و \( > \) نقطه‌ی مرزی جزو جواب نیست (پرانتز، دایره‌ی توخالی)؛ در \( \leq \) و \( \geq \) هست (کروشه، دایره‌ی توپر).
• نامعادله‌ی دوطرفه (مرکب «و»): مثل \( -3 < 2x+1 \leq 5 \)، که یعنی هر دو نامساوی \( -3 < 2x+1 \) و \( 2x+1 \leq 5 \) هم‌زمان برقرارند.

قضایا و ویژگی‌ها

قواعد تبدیل نامعادله

برای اعداد حقیقی \( A \)، \( B \) و \( c \):

1. \( A < B \;\Longleftrightarrow\; A+c < B+c \)
2. اگر \( c > 0 \): \( A < B \;\Longleftrightarrow\; cA < cB \)
3. اگر \( c < 0 \): \( A < B \;\Longleftrightarrow\; cA > cB \)

همین قواعد برای \( \leq \)، \( > \) و \( \geq \) هم برقرارند.

ایده‌ی اثبات قاعده‌ی سوم: \( A < B \) یعنی \( B-A > 0 \). اگر \( c < 0 \)، حاصل‌ضرب عدد مثبت \( B-A \) در عدد منفی \( c \) منفی است: \( c(B-A) < 0 \)، یعنی \( cB-cA < 0 \) و در نتیجه \( cA > cB \). به زبان هندسی، ضرب در عدد منفی محور اعداد را حول صفر قرینه می‌کند و ترتیب نقاط وارونه می‌شود.

جواب کلی

از قاعده‌های بالا مستقیم نتیجه می‌شود:

$$ ax+b > 0 \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} x > -\dfrac{b}{a} & a > 0 \\[2mm] x < -\dfrac{b}{a} & a < 0 \end{cases} $$

این همان قاعده‌ی آشنای کتاب درسی برای تعیین علامت عبارت درجه‌ی اول است: سمت راست ریشه هم‌علامت \( a \)، سمت چپ ریشه مخالف علامت \( a \).

حالت‌های ویژه

اگر پس از ساده‌کردن، مجهول از دو طرف حذف شود، با یک نامساوی عددی روبه‌رو می‌شویم. اگر این نامساوی درست باشد (مثل \( 0 < 5 \))، همه‌ی اعداد حقیقی جوابند؛ اگر نادرست باشد (مثل \( 0 > 5 \))، نامعادله جواب ندارد و مجموعه جوابش تهی است.

روش گام‌به‌گام حل

1. پرانتزها را باز کنید و در صورت وجود کسر، دو طرف را در مخرج مشترک (عددی مثبت) ضرب کنید.
2. جمله‌های شامل \( x \) را به یک طرف و عددها را به طرف دیگر ببرید.
3. دو طرف را بر ضریب \( x \) تقسیم کنید؛ اگر این ضریب منفی است، جهت نامساوی را برعکس کنید.
4. جواب را با بازه بنویسید و در صورت نیاز روی محور نشان دهید.
5. یک عدد از جواب و یک عدد بیرون آن را امتحان کنید (بررسی سریع).

مثال‌های حل‌شده

مثال ۱: بدون تقسیم بر منفی

نامعادله‌ی \( 4x-7 \leq 9 \) را حل کنید.

$$ 4x \leq 16 \;\Rightarrow\; x \leq 4 $$

مجموعه جواب: \( (-\infty,4] \). روی محور، دایره‌ی توپر روی ۴ و پیکان به سمت چپ.

مثال ۲: تقسیم بر عدد منفی

نامعادله‌ی \( 6-3x > 12 \) را حل کنید.

$$ -3x > 6 \;\Rightarrow\; x < -2 $$

در گام دوم چون بر \( -3 \) تقسیم کردیم، \( > \) به \( < \) تبدیل شد. بررسی: برای \( x=-3 \)، \( 6+9=15 > 12 \) درست است؛ برای \( x=0 \)، \( 6 > 12 \) نادرست است. جواب: \( (-\infty,-2) \).

مثال ۳: مجهول در دو طرف

نامعادله‌ی \( 2(x-3)+5 < 5x+8 \) را حل کنید.

$$ 2x-1 < 5x+8 \;\Rightarrow\; -3x < 9 \;\Rightarrow\; x > -3 $$

جواب: \( (-3,+\infty) \). (می‌توانستیم \( x \)ها را به سمت راست ببریم تا ضریب مثبت شود: \( -9 < 3x \) و همان \( x > -3 \) به دست می‌آید؛ این راه از برعکس‌کردن جهت جلوگیری می‌کند.)

مثال ۴: نامعادله با کسر

نامعادله‌ی \( \frac{x}{3}-\frac{x-1}{2} \geq 1 \) را حل کنید.

دو طرف را در ۶ (عددی مثبت) ضرب می‌کنیم:

$$ 2x-3(x-1) \geq 6 \;\Rightarrow\; -x+3 \geq 6 \;\Rightarrow\; -x \geq 3 \;\Rightarrow\; x \leq -3 $$

جواب: \( (-\infty,-3] \).

مثال ۵: نامعادله‌ی دوطرفه

نامعادله‌ی \( -5 \leq 3-2x < 7 \) را حل کنید.

عملیات را هم‌زمان روی هر سه بخش انجام می‌دهیم:

$$ -8 \leq -2x < 4 \;\Rightarrow\; 4 \geq x > -2 $$

تقسیم بر \( -2 \) هر دو نامساوی را برعکس کرد. به ترتیب معمول: \( -2 < x \leq 4 \)، یعنی بازه‌ی \( (-2,4] \).

مثال ۶: یک حالت ویژه

نامعادله‌ی \( 3(x+2) > 3x+1 \) را حل کنید.

$$ 3x+6 > 3x+1 \;\Rightarrow\; 6 > 1 $$

مجهول حذف شد و نامساوی باقی‌مانده همیشه درست است؛ پس همه‌ی اعداد حقیقی جوابند: \( \mathbb{R}=(-\infty,+\infty) \). اگر به‌جای آن \( 3(x+2) < 3x+1 \) داشتیم، به \( 6 < 1 \) می‌رسیدیم و جواب تهی بود.

مثال کاربردی: نمره‌ی لازم

به پرسش مقدمه برگردیم: \( 0.4(8)+0.6x \geq 10 \).

$$ 3.2+0.6x \geq 10 \;\Rightarrow\; 0.6x \geq 6.8 \;\Rightarrow\; x \geq 11.\overline{3} $$

پس نمره‌ی پایان‌ترم باید دست‌کم ( 11.overline{3} ) باشد (با نمره‌دهی دو رقم اعشار، یعنی حداقل ۱۱٫۳۴) (و چون نمره حداکثر ۲۰ است، جواب واقعی \( 11.\overline{3} \leq x \leq 20 \) است — مثالی از این‌که بافت مسئله گاهی یک قید دوم اضافه می‌کند).

کاربردها

• مسائل «حداقل/حداکثر» در بودجه، قیمت‌گذاری و زمان‌بندی.
• نقطه‌ی سربه‌سر: تعداد فروشی که درآمد \( px \) از هزینه \( F+cx \) بیشتر شود.
• تعیین دامنه‌ی توابعی مثل \( \sqrt{2x-5} \) که به \( 2x-5 \geq 0 \) می‌رسد.
• تعیین علامت عامل‌های درجه‌ی اول، که پایه‌ی حل نامعادلات چندجمله‌ای و گویاست.

اشتباهات رایج

• برعکس‌نکردن جهت هنگام تقسیم بر ضریب منفی — شایع‌ترین خطای این مبحث.
• برعکس‌کردن جهت هنگام جمع با عدد منفی (مثلاً کم‌کردن ۵ از دو طرف)؛ جمع و تفریق هرگز جهت را تغییر نمی‌دهند.
• در نامعادله‌ی دوطرفه، اعمال عملیات فقط روی دو بخش از سه بخش.
• نوشتن \( 4 \geq x > -2 \) به شکل \( (4,-2] \)؛ در بازه همیشه عدد کوچک‌تر سمت چپ است.
• اشتباه پرانتز و کروشه: \( x < 3 \) یعنی \( (-\infty,3) \)، نه \( (-\infty,3] \).

نکات مهم

• با بردن جمله‌های \( x \) به طرفی که ضریبش مثبت می‌شود، می‌توان از تقسیم بر منفی پرهیز کرد.
• کنار \( \infty \) همیشه پرانتز می‌آید، نه کروشه.
• جواب نامعادله‌ی خطی فقط یکی از این چهار شکل است: نیم‌خط، بازه‌ی کران‌دار (در نامعادله‌ی دوطرفه)، کل \( \mathbb{R} \)، یا تهی.
• امتحان یک عدد از درون و یک عدد از بیرون جواب، بیشتر خطاهای جهت را آشکار می‌کند.

جمع‌بندی

نامعادله‌ی خطی با همان گام‌های معادله‌ی خطی حل می‌شود؛ تنها قاعده‌ی تازه این است که ضرب یا تقسیم در عدد منفی جهت نامساوی را برعکس می‌کند، چون ترتیب اعداد را وارونه می‌کند. جواب به‌صورت بازه نوشته می‌شود و نامعادله‌ی دوطرفه با اعمال هم‌زمان عملیات روی هر سه بخش حل می‌شود. این مهارت پایه‌ی همه‌ی نامعادلات بعدی است.

موضوعات مرتبط

• نامعادلات در ریاضیات
• نامعادله درجه دوم
• دستگاه نامعادلات

منابع

• OpenStax، Intermediate Algebra 2e — 2.5 Solve Linear Inequalities. ویژگی‌های جمع و ضرب در نامساوی، نمایش جواب روی محور و با بازه، و مسائل کاربردی.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
• OpenStax، Intermediate Algebra 2e — 2.6 Solve Compound Inequalities. نامعادلات مرکب با «و» و «یا» و حل نامعادله‌ی دوطرفه.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
• OpenStax، College Algebra 2e — 2.7 Linear Inequalities and Absolute Value Inequalities. نمادگذاری بازه و ویژگی‌های نامساوی.
  مشاهده منبع
  تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵