\((r_1r_2)m=r_1(r_2m)\)
و اگر R یکدار باشد و \(1_R.m=m\) آن گاه M را یک R-مدول یکانی می نامیم.
نکته: اگر R یک حلقه تقسیم باشد (مخصوصا یک میدان باشد) آنگاه M را یک فضای برداری روی R می نامیم. (میدان لزوما جابجایی است و هر عضو آن وارون ضربی دارد ولی حلقه تقسیم لزوما جابجایی نیست)
مثال: \(\mathbb{R}\) یک \(\mathbb{R}\)-مدول است.
حل: ضرب اسکالر زیر را در نظر می گیریم
\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ r.s=rs\)
چون در حالت کلی هر حلقه یک گروه جمعی آبلی است لذا شرط اول برقرار است و برقراری خواص دیگر نیز براحتی نتیجه می شوند پس
\(\mathbb{R}\) یک \(\mathbb{R}\)-مدول است.
یادآوری:
\(I\trianglelefteq R \iff \left\{ \begin{array}{l \|l} I \ne \varnothing\\ \forall a,b \in I ; a-b\in I \\ \forall a\in I , r \in R; ra\in I \end{array} \right.\)
مثال: فرض کنید \(I\) ایده آلی از R باشد در این صورت با ضرب اسکالر
\(R\times {R\over I} \to {R\over I}\\ r(s+I)=rs+I\)
اولا \({R\over I}\) یک گروه جمعی آبلی است.
دوما خوش تعریف است زیرا:
\((r,s+I)=(r^\prime,s^\prime+I) \implies \left\{ \begin{array}{l l} r=r^\prime\\ s+I = s^\prime +I \to s-s^\prime\in I \end{array} \right. \\ \implies r(s-s^\prime)\in I \implies rs-rs^\prime\in I \to rs-r^\prime s^\prime \in I\\ \implies rs+I=r^\prime s^\prime +I\)
\({R\over I}\) یک R-مدول است زیرا
- \(r[(s+I)+(s ^\prime +I)]=r[s+s^\prime+I]=r(s+s ^\prime)+I\\=rs+rs^\prime+I=rs+I+rs^\prime+I=r(s+I)+r(s^\prime+I)\)
- \((r+r^\prime)(s+I)=r(s+I)+r^\prime (s+I)\)
- \((rr^\prime)(s+I)=r(r^\prime(s+I))\)
ملاحظه: اگر v یک فضای برداری روی F باشد در این صورت
\(\text{if} \ \ c\in f , \alpha \in v , c\alpha =0 \to c=0 \quad \text{or} \quad \alpha=0\)
زیرا اگر \(c\ne 0\) داریم:
\(c\alpha=0 \implies c^{-1}(c\alpha)=(c^{-1}c)\alpha=0 \implies \alpha =0\)
و اگر \(\alpha \ne0\) داریم:
\(c\alpha=0 \implies c(\alpha \alpha^{-1})=0 \implies c =0\)
اما این موضوع در مدول ها ممکن است برقرار نباشد.
بعنوان مثال میدانیم \(6 \mathbb{Z}\) ایده آلی از \(\mathbb{Z}\) است پس بنابر مثال قبل \(\mathbb{Z} \over 6\mathbb{Z}\) یک \(\mathbb{Z}\) مدول است ( پس هر \(\mathbb{Z}_n\) یک \(\mathbb{Z}\)-مدول است) داریم:
\(0 \ne 2 \in \mathbb{Z} \quad 0 \ne3+6\mathbb{Z} \in {\mathbb{Z} \over 6\mathbb{Z}} \\ 2.(3+6\mathbb{Z})=2 \times 3+6\mathbb{Z}=6+6\mathbb{Z}=0\)
تعریف: فرض کنید R و S حلقه های جابجایی باشند در این صورت S را یک R-جبر می نامیم هر گاه یک همریختی حلقه ای مانند \(f:R\to S\) وجود داشته باشد.
نکته: \(a+H =0 \iff a\in H \quad , \quad 0_{R\over I}=I\)
مثال: اگر S یک R-جبر باشد آنگاه می توان S را به عنوان یک R-مدول در نظر گرفت
حل: چون S یک R-جبر است لذا یک همریختی حلقه ای مانند \(f:R\to S\) موجود است ضرب اسکالر زیر را در نظر می گیریم:
\(.:R\times S \to S \\ r.s =f(r).s\)
چون S حلقه است لذا گروه جمعی آبلی است. داریم
\(\forall r,r_1,r_2 \in R \quad , s,s_1, s_2 \in S\\ 1) \ r(s_1+s_2)=f(r). (s_1+s_2)=f(r). s_1+f(r). s_2=rs_1+rs_2\\ 2) \ (r_1+r_2)s=f(r_1+r_2) s \stackrel{\text{Hom}}{=} (f(r_1)+f(r_2)) s= f(r_1)s+f(r_2)s\\ r_1s+r_2s\\ 3) \ (r_1r_2)s=f(r_1r_2)s \stackrel{\text{Hom}}{=} (f(r_1)f(r_2)) s= f(r_1)(f(r_2)s)\\ r_1(f(r_2)s)=r_1(r_2s)\\\)
همچنین اگر R یکدار باشد داریم
\(1_R\times S=f(1_R).s=1_R.s=s\)
چرا که اگر f یک همریختی باشد آنگاه \(f(c)=c\)
پس S یک R-مدول یکانی است.