تعاریف مثلثات با استفاده از زوایای یک مثلث قائم الزاویه
\(\sin \alpha = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}}\) سینوس یک زاویه برابر است با اندازه ضلع روبرو تقسیم بر وتر
\(\cos \alpha = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}}\) کسینوس یک زاویه برابر است با اندازه ضلع مجاور تقسیم بر اندازه وتر
\(\tan \alpha = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}}\) تانژانت در واقع سینوس تقسیم بر کسینوس است که با تقسیم دو کسر مربوط به سینوس و کسینوس بر هم، حاصل اندازه ضلع روبرو تقسیم بر ضلع مجاور می شود.
\(\csc \alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Opposite}}\) کسکانت یک زاویه، معکوس سینوس همان زاویه است یعنی وتر تقسیم بر ضلع مقابل
\(\sec \alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Adjacent}}\) سکانت یک زاویه، معکوس کسینوس همان زاویه است یعنی وتر تقسیم بر ضلع مجاور
\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Opposite}}\) کتانژانت یک زاویه نیز، معکوس تانژانت است یعنی ضلع مجاور تقسیم بر ضلع روبرو
فرمول های تاثیر کاهش و افزایش یک زاویه بر توابع مثلثاتی
در دایره مثلثاتی دقت به این مسئله ضروری است: * در دایره مثلثاتی محور x به cos و محور y به sin بدل می شود * پس در ربع اول سینوس و کسینوس مثبت است.
با توجه به این نکته کلیدی فرمول های زیر را داریم:
\(\sin(-x) = -\sin(x)\) سینوس x در ربع اول است پس مثبت است وقتی x به منفی x تبدیل شود، سینوس می افتد در ربع چهارم پس منفی می شود.
\(\cos(-x) = \cos(x)\) کسینوس x در ربع اول است پس مثبت است و وقتی x به منفی x تبدیل شود، کسینوس در ربع چهارم قرار می گیرد که در ربع چهارم نیز کسینوس مثبت است، پس حاصل مثبت می گردد.
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\) وقتی در کمان \(\frac{\pi}{2}\) موجود باشد سینوس تبدیل به کسینوس می شود و برعکس که در اینجا نمی توان آن را ثابت کرد. ولی به راحتی قابل اثبات است که در مطلبی دیگر این اثبات را انجام خواهیم داد. دقت کنید که حاصل این عبارت در ربع اول است پس حاصل مثبت می گردد.
\(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\) حاصل در ربع اول است پس مثبت می گردد
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)\)
\(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)\)
\(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) حاصل در ربع دوم است که سینوس مثبت است.
\(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\) حاصل در ربع دوم است که کسینوس در این ربع منفی است
\(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\) در ربع سوم، سینوس منفی است.
\(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\) در ربع سوم کسینوس منفی است.
فرمول های پایه ای
\(\sin^2x + \cos^2x = 1\) این فرمول به شاه کلید مثلثات معروف است
\(\tan^2x + 1 = \frac{1}{\cos^2x}\)
\(\cot^2x + 1 = \frac{1}{\sin^2x}\)
فرمول های جمع و تفریق مثلثات
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos \beta + \sin\beta \cdot \cos\alpha\)
\(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos \beta - \sin \beta \cdot \cos\alpha\)
\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos \beta - \sin\alpha \cdot \cos\beta\)
\(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos \beta + \sin\alpha \cdot \cos\beta\)
\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{ \tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta }\)
\(\tan(\alpha - \beta) = \frac{ \tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta }\)
فرمول های نصف کمان و دوبرابر کمان در توابع مثلثاتی
\(\sin(2\,\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha\)
\(\cos(2\,\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)
\(\tan(2\,\alpha) = \frac{2\,\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\)
\(\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\)
\(\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\)
\(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}\)
\(\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha} }\)
سایر فرمولهای مفید در مثلثات
- قانون سینوس
\(\frac{\sin\alpha}{\alpha} = \frac{\sin\beta}{\beta} = \frac{\sin\gamma}{\gamma}\)
- قانون کسینوس
\(\begin{aligned} a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta \\ c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma \end{aligned}\)
- مساحت مثلث
\(A = \frac{1}{2} a\,b\, \sin\gamma\)