از آنجا که اکثر سیستم های معادلات دیفرانسیلی که در فیزیک، هندسه و مکانیک ظاهر می شوند، پدید های کاملا متفاوتی را توصیف می کنند، بعضا ارتباطی ‎(شباهتی)‎ بین آنها نمی توانیم پیدا کنیم.

مطالعه شباهت های سیستم های متفاوت (از نقطه نظر دیفئومورفیسم های مختلف بین سیستم های متفاوت) موضوع مهم کارهای بسیاری از دانشمندان از جمله اویلر، ژاکوبی، مینکوفسکی بوده است.

در سالهای اخیر نیز این سوال در مقالات کسانی مانند اسمیل، مارسدن، موزر، کوزلوف، نوویکوف و دیگران دیده می شود.

چه نوع ایزومرفیسم هایی بین دو سیستم دینامیکی می توان برقرار کرد؟

هدف نظریه طبقه بندی سیستم های هامیلتونی پاسخ به سوالاتی از این قبیل است که توسط آناتولی فومنکو در سال های ‎1988‎ و ‎1989‎ تحت یک سری مقاله و کتاب مطرح شد.

در این نظریه سه نوع هم ارزی بین سیستم های هامیلتونی مطرح می شود که عبارتند از‎:

1. هم ارزی تزویجی‎
2. ‎هم ارزی مداری‎
3. هم ارزی لیوویلی‎

- هم ارزی تزویجی بدین معنی است که دو سیستم تحت یک تغییر متغیر بهم دیگر تبدیل می شوند‎.

- هم ارزی مداری بدین معنی است که مسیر های انتگرالی دو سیستم تحت یک هومئومرفیسم بروی هم نگاشته می شوند. 

در این حالت تمامی خواص کیفی سیستم های دینامیکی از جمله پایداری، مجموعه های حدی، نوع مسیر های بسته و غیره تحت هومئومرفیسم حفظ می شوند‎.

- حالت سوم هم ارزی سیستم های دینامیکی، هم ارزی لیوویلی می باشد که برای سیستم های هامیلتونی انتگرال پذیر قابل تعریف می باشد‎.

دو سیستم را در این حالت هم ارز لیوویلی گویند هرگاه فضای فاز این دو سیستم توسط چنبره های لیوویل به صورت یکسان لایه بندی شوند‎.

آناتولی فومنکو در نظریه سیستم های انتگرال پذیر با دو درجه آزادی به هر سیستم انتگرال پذیر یک گراف بنام مولکولW ‎ که ناوردای توپولوژیکی نیز نامیده می شود، وابسته می کند. این گراف برای تمامی سیستم های انتگرال پذیر هم ارز لیوویلی یکسان می باشد. لذا با محاسبه این گراف میتوان در مورد هم ارز بودن دو سیستم انتگرال پذیر قضاوت کرد‎.

گراف فومنکو برای تمام حالت های انتگرال پذیر جسم صلب محاسبه شده است و بدین ترتیب ثابت شده که این حالت ها هم ارز نیستند و حالت های انتگرال پذیر متفاوتی از جسم صلب می باشند.

جهت آشنایی با این نظریه میتوان به [‎1] و [2] مراجعه کرد.

‎1] A.T‎. ‎Fomenko and A.V‎. ‎Bolsinov; Integrable Hamiltonian systems‎, ‎Geometry‎, ‎Topology‎, ‎Classification; 2004]

[2] رده بندی لیویلی سیستم های هامیلتونی انتگرال پذیر با دو درجه آزادی در همسایگی های 4بعدی نقاط تکین همراه با مثال، پایان نامه کارشناسی ارشد